Überprüfung von Matheaufgabe

[Hotwave]

Gegeben ist 1/a^4 = 2^4.
Meine Idee (die auch zur richtigen Lösung führt) war auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 4 zu benutzen, also:
log4(1/a^4) = log4(2^4)

Nun kommt der Schritt, wo ich mir nicht ganz sicher bin, ob das so richtig ist:

log4(1/a^4) = log4(2^4)
<=> 1/a = 2
<=> a = 0,5

War das so richtig gerechnet? Wenn ja, Regel erlaubt mir das?

 

[DeadMansHorror]

Also erstmal:
Dein Ansatz ist falsch bzw. umständlich.
Die Aufgabe kann man durch etwas umformen + Wurzelrechnung lösen.
log[y](x) sag ja:
Was muss ich über y schreiben, damit x raus kommt.
Da macht es keinen Sinn, einen log[4] zu betrachten.
Über den Logarithmus könnte man da vielleicht mit einem zur Basis a oder 2 rankommen, ist aber auf jeden Fall umständlich.

Bei deiner Aufgabe würd ich einfach:
Spoiler
1/a^4 = 2^4 |* a^4
<=> 1 = 2^4 * a^4 | 4te Wurzel ziehen
<=> 1 = 2*a| /2
<=> 1/2 = a
Spoiler

MfG
DeadMansHorror

 

[Hotwave]

Wurzelziehen ist ja keine Äquivalenzumformung, deswegen war ich mir da nicht so sicher...

 

[ChExWeb]

Wieso machst du es dir so unglaublich kompliziert - mal ganz davon abgesehen das der ln/log so auch nicht richtig angewendet ist ...

grundsätzlich gilt ja: was man auf der einen seite der rechnung macht, macht man auch auf der anderen seite

also zieh einfach die wurzel (^-4) auf beiden seiten und ... fertig schön einfache gleichung...

edit: hopla da war schon jemand schneller
spar dir den log/ln lieber für solche gleichungen auf e(8x+6) = 100

 

[Schruppinator]

In so einem Fall gehts auch noch was anders, vllt leichter für dich:

Du kannst die 1/a^4 auch als (1/a)^4 schreiben...
auf der anderen Seite hast du 2^4...

Mit Koeffizentenvergleich kriegste raus 1/a = 2...
--> a = 1/2

 

[Hotwave]

Danke, nach sowas hab' ich auch gesucht

...ist das denn Zufall, dass ich mit meinem (falschen) Ansatz das richtige Ergebnis habe?

 

[marac]

a = 1/2 ist zwar eine Lösung, aber nicht die einzige...

(-1/2, 1/2i, -1/2i lösen die Gleichung auch...)

 

[Hotwave]

Deshalb (-1/2) war ich mir unsicher mit dem Wurzelziehen, da keine Äquivalenzumformung...

 

[Schruppinator]

Deshalb (-1/2) war ich mir unsicher mit dem Wurzelziehen, da keine Äquivalenzumformung...

Wenn du immer beide Fälle betrachtest, wüsste ich grad nicht, warum Wurzel keine Äquivalenzumformung sein sollte...
*edit* Grad noch mal Gedanken über die wirkliche Bedeutung von Äquivalenz gemacht! Wenn man es wirklich streng sieht, ist sie es nicht, wie das quadrieren auch schon...
Bsp:
x=2 --> hat eine Lösung
^2
--> x^2 = 4 --> hat zwei Lösungen

Und bei Wurzel gilt des selbe ja ^^

 

[joschilein]

Immer wenn man Potenzen verschwinden lässt, gehen damit auch weitere Informationen verloren.
Beispiel:
4x^2 = x^4
=> 4 = x^2
=> x1 = 2, x2 = -2
Was aber leicht übersehen wird:
=> x3 = 0, x4 = 0
In diesem Fall eine doppelte Nullstelle bzw. ein Tiefpunkt

Und so ist es im Anfangsfall auch mit der Wurzel aus 1. Natürlich ist die Wurzel aus 1 auch 1, doch zusätzlich auch -1, denn das Quadrat von -1 ist bekannterweise 1.

 

[marac]

Beispiel: [...]

Dieses Beispiel ist aber nochmal etwas anderes, da du hier durch x² teilst, und nicht die Wurzel auf beiden Seiten ziehst.
Wenn du durch die Unbekannte teilst, merkst du dir "einfach" die Null als eine Lösung, kannst dann aber mit einer Gleichung weiterrechnen, wogegen du beim Wurzel ziehen an sich immer eine Fallunterscheidung brauchst: a²=b² hat nun mal die zwei Lösungen: a=b und a=-b, so dass du - wenn eben nicht nur a und b da stehen, sondern weiter aufzulösende Terme - eigentlich beide Fälle weiter betrachten musst...

In Hotwaves Ausgangs-Gleichung müsste man das eben eigentlich gleich zwei mal tun:

1/a^4 = 2^4

==> 1/a² = 2² und 1/a² = -2²

Die erste Version ergibt die beiden schon genannten Lösungen

==> 1/a = 2 und 1/a = -2; also a = 1/2 und a = -1/2

Die zweite Version ist bekanntermaßen in den reellen Zahlen nicht lösbar, im Bereich der komplexen Zahlen bekämen wir hier zwei weitere Lösungen...
==> a = 1/2i; a = -1/2i

Natürlich ist die Wurzel aus 1 auch 1, doch zusätzlich auch -1, denn das Quadrat von -1 ist bekannterweise 1.

[Korinthenkackermode]
Stimmt so nicht, die Wurzel aus einer reellen positiven Zahl ist per Definition immer eine reelle positive Zahl.
Nur ist eben Wurzel(1) nicht die einzige Lösung der Gleichung x² = 1, sondern auch -Wurzel(1). Wurzel(1) selbst ist aber immer 1... (siehe auch Wikipedia:Quadratwurzel)
[/Korinthenkackermode]