[Mathe] e-Funktion / Logarithmus

[tkiela]

Moin.
Ich hätte mal ne Frage zur e-Funktion bzw. dem LN.

Bei

LNx - x = -1

Kann man das nur durch Probieren lösen, oder ist es irgendwie anders möglich, die Lösung wirklich auszurechnen.

Klar ist, dass die Lösung 1 ist, nur weiß ich nicht, wie man es genau ausrechnet. Man kann schließlich nicht in einer Klausur schreiben:

"Ich habe es durchprobiert, und bei x=1 geht die Lösung auf."
oder wohlmöglich:
"Man kann es aus der Zeichnung ablesen."

Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet!

 

[ice-breaker]

ln|x| - x = - 1
ln|x| = x - 1
e^ln|x| = e^(x - 1)
x = e^x * e^-1
x = e^x / e

und Rechenschritt 5 ist nur noch für 1 lösbar, so hätte ich es gemacht

 

[DaPhreak]

Klar ist, dass die Lösung 1 ist, nur weiß ich nicht, wie man es genau ausrechnet. Man kann schließlich nicht in einer Klausur schreiben:

"Ich habe es durchprobiert, und bei x=1 geht die Lösung auf."
oder wohlmöglich:
"Man kann es aus der Zeichnung ablesen."

Man kan das tatsächlich beweisen, dass es in diesem Fall nur eine Lösung x=1 gibt. Das ergibt sich aus der bekannten Ungleichung

ln(x) ? x-1

Wobei das "=" erfüllt ist genau dann wenn x=1 ist.

Ich weiß nicht, ob die Ungleichung einen Namen hat. Die einzige Wikipedia-Referenz, die ich auf die Schnelle gefunden habe ist beim Beweis der Gibb'schen Ungleichung. Dort heißt es:

Note that the natural logarithm satisfies

for all x with equality if and only if x=1.

Klingt so, als wäre das eine triviale Sache. Mir ist der Beweis davon grade nicht geglückt. Ich hatte es über Taylorreihen probiert, aber das bringt's irgendwie nicht (die haben alternierendes Vorzeichen, damit bekomme ich irgendwie keine Abschätzung hin).

Möglicherweise gibt's nen einfacheren Weg, das zu zeigen. Ich überleg nochmal.



Zur Veranschaulichung mal noch 'ne Grafik:





*eeeedit* Aha, grad noch 'ne Idee gehabt.

Sei f(x) = ln(x) - x + 1 für x>0 (sonst ist der Logarithmus ja nicht definiert).
Dann ist f'(x) = 1/x - 1 und f''(x) = -1/x[sup]2[/sup].
f'(x) hat genau eine Nullstelle, nämlich x=1.
Offensichtlich ist f''(x) immer negativ. Damit ist die Krümmung von f(x) konstant, es kann also nur ein Extremum geben. Da f''(x) negativ ist, ist das Extremum ein Maximum.
Damit ist x=1 ein globales Maximum der Funktion f(x).
Damit ist f(x) ? f(1) für alle x.
f(1) = ln(1) - 1 + 1 = 0.
f(x) ? 0 für alle x mit Gleichheit nur für x=1.
ln(x) - x + 1 ? 0 für alle x mit Gleichheit nur für x=1.
ln(x) ? x-1 für alle x mit Gleichheit nur für x=1.


Und damit ist bewiesen, dass x=1 die einzige Lösung Deiner Gleichung ist.

q.e.d.