[Algebra] Mengenlehre

[unregiert]

Salut

Heute bin ich endlich ein Gymnasiast, und wurde leider schon am ersten Tag mit Hard-Core Mathe überremplet: Mengenlehre.
Nun, das gröbste weiss ich: Eine Menge ist eine Zahlenansammlung, die eine oder mehrere Bedienungen erfüllen. Desweiteren kann man als Bedienung auch setzen, dass die Zahlen reele Zahlen etc. sein müssen. Das alles verstehe ich: Aber was sind Teilmengen? Als wir ins Thema eingestiegen sind, dachte ich, die Mengen wären Arrays, und die Teilmengen, Arrays in Arrays - Aber als die Potenzmenge kam, war ich baff: Was sind die Teilmengen?

A = {1, 5, 9, 10}
|P(A)| = 16 (2^4) = {{}, {1}, {5}, {9}, {10}, {1,5}, {1,9}, {1,10}, {5,9}, {5,10}, {9,10}, {1,5,9}, {1,5,10}, {1,9,10}, {5, 9, 10}, {1,5,9,10}}

Alle möglichen Teilmengen einer Menge kann ich bilden, und sehe einiger massen, was das ist: Alle möglichen Gruppierungen der Elemente, oder wie ich es auch beschreiben kann. Aber was bringt das?

Und stimmt das, was ich hier plaudere? Bitte beachtet: Mengenlehre habe ich seit heute. Danke bereits im Vorraus.

 

[sklemm]

Hmm, also in einer Menge müssen nicht zwingend Zahlen stehen, es können z.B. auch Funktionen sein, oder andere Mengen, deshalb könnte man grob sagen, dass eine Menge eine Zusammenfassung von Objekten eines bestimmten Typs ist, die untereinander unterschieden werden können. (Dies sollte grob der Definition nach Cantor entsprechen - für genauere Infos einfach mal googlen).
Die Objekte in einer Menge heißen Elemente. Elemente sind die kleinste Einheit in einer Menge. Eine Teilmenge ist nun eine Menge von Elementen, die ausschließlich Elemente der Obermenge sind.

Also Anschaulich, betrachten wir die Menge
A= {a,b,c,d,...,x,y,z} also die Menge der kleinen Buchstaben des deutschen Alphabets ohne Umlaute. A enthält also 26 Elemente.
Eine Teilmenge ist nun jede Zusammenfassung von kleinen Buchstaben, also z.B. {e,h,a,p,s} (die Reihenfolge von Elementen einer Menge ist i.Ü. nicht relevant, es kommt nur auf die enthaltenen Elemente selbst an).
Wichtig ist, dass eine Teilmenge nicht Element der Obermenge ist, auch wenn alle ihre Elemente auch in der Obermenge enthalten sind. Dein Bild von Teilmengen als Arrays ind Arrays ist dahingehend also falsch.
Die Potenzmenge ist nun eine neue Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind, nämlich alle Möglichen Teilmengen der Obermenge.

Was das mit den Potenzmengen bringt - nun ja - zum Beispiel ist die Potenzmenge der Buchstaben gleich der Menge aller Wörter, die jeden Buchstaben nur einmal enthalten. Ob das jetzt ne Anwendung hat oder nicht - keine Ahnung.

Am meisten gebraucht habe ich die Mengenlehre bisher bei der Maßtheorie. Maße sind quasi Kennzahlen für Gewisse Objekte. So zum Beispiel Der Flächeninhalt einer Fläche. Ein Maß ist nun eine Abbildung (eine Funktion), die jeder Fläche eine Zahl zuweist(der Flächeninhalt). Flächen sind aber immer beliebige Teilmengen einer Ebene(Menge aller Punkte). Wichtig für ein Maß ist nun, dass es mit jeder erdenklichen Fläche funktioniert. D.h. es muss mit allen Elementen der Potenzmenge der Ebene Funktionieren.

Ob das jetzt wirklich Licht ins dunkel gebracht hat? Ich weiß es nicht, aber ein wirklich praktisches Besipiel ist mit gerade nicht eingefallen.

Ich hoffe ich konnte ein bisschen Licht ins dunkel bringen, wenn nicht einfach nachhaken.

 

[unregiert]

Unser Lehrer hat beim Cantor folgendes geschrieben: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterscheidender Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen.

Also ich fasse zusammen: Eine Menge ist eine Ansammlung/Zusammenfassung einiger Objekten, die sowohl Zahlen als auch Gegenstände sein können, die unterscheidbar sind.

Teilmengen, dass sind Gruppierung der Elemente einer Menge, die in der Menge kein eigenständiges Element ist. Sozusagen "Verknüpfungen" von Werten, die z.B. man für bestimmte, sepperate Rechnungen oder für z.B. eine Anschaulichung braucht.

Wenn es stimmt, gib ich dir ein grosses Dankeschön!

 

[sklemm]

Also ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich würde es so durchgehen lassen.

(Und das sage ich jetzt nicht wegen dem Dankeschön )