[S] Komplexe Nullstellenberechnung
- Ersteller werter
- Erstellt am
Bloß nix selber machen?
Es wäre auch für Dich besser, wenn Du uns verraten würdest, wie weit Du selbst bei der Aufgabe gekommen bist und wo Du nicht weiter kommst. Bitte erwarte nicht, dass Dir hier jemand eine vollständige Lösung Deiner Hausaufgaben macht, die Du dann nur abschreiben musst... das würde Dir selbst auch nix bringen.
Mal ein paar Hinweise:
Gegeben hast Du das Polynom P(x) = x³+7x²+28x+48.
Das Ziel ist es, die Nullstellen zu berechnen, also alle x wo P(x) = 0 ist. Der Hauptsatz der Algebra sagt, dass es für ein Polynom dritten Grades da genau drei gibt, x0, x1 und x2. Also kann man P(x) auf jeden Fall schreiben als (x-x0)*(x-x1)*(x-x2).
Eine der Nullstellen hat man Dir freundlicherweise vorgegeben, Du weißt also, dass P(x) = (x+3)*Q(x) ist, wobei Q(x) nun nur noch ein Polynom zweiten Grade ist. Das lässt sich dann leicht lösen.
Die eigentliche Schwierigkeit ist also hier, das Q(x) zu bestimmen.
Mehrere Möglichkeiten:
Polynomdivision: Teile P(x) durch x+3, Du weißt ja schon, dass das ohne Rest aufgehen muss. Koeffizientenvergleich: Setze Q(x) einfach an mit a*x[sup]2[/sup]+b*x+c, multipliziere Q(x)*(x+3) aus und vergleiche dann die Koeffizienten mit denen von P(x).Wenn Du Q(x) hast, dann musst Du nur noch die Nullstellen des quadratischen Polynoms berechnen. Falls Dir das Probleme bereitet dann gibt's dazu auch gerne noch 'ne Erklärung.
Hallo, erstmal vielen Dankt für die Antwort.Leider hilft sie uns nicht weiter.
Die Aufgabe wurde in der letzten Mathe 1 Klausur gestellt, die wir, weil wir durchgefallen sind, nochmal schreiben müssen.
Die Polynomdivision mit der gegebenen Nullstelle hatten wir gemacht.
x³+7x²+28x+48 : (x+3) = x²+4x+16
x³+3x²
-------
4x²+28x
4x²+12x
--------
16x+48
16x+48
-------
0
Das ging auch glatt auf. x²+4x+16
Wir hatten es dann weiter mit der pq Formel versucht, aber sind dort dann nicht weiter gekommen. Soweit ich mich noch richtig an die Formel erinnere:
x2/3 = -4/2 +- Wurzel aus ((4²/4)-16)
x2/3= -2 +- Wurzel aus -12
Und da man aus Negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gehts da nicht weiter.
Mit diesem Rechenweg lassen sich auch nur die reellen Nullstellen bestimmen, ich suche aber nach den komplexen.
Die Aufgabe wurde in der letzten Mathe 1 Klausur gestellt, die wir, weil wir durchgefallen sind, nochmal schreiben müssen.
Die Polynomdivision mit der gegebenen Nullstelle hatten wir gemacht.
x³+7x²+28x+48 : (x+3) = x²+4x+16
x³+3x²
-------
4x²+28x
4x²+12x
--------
16x+48
16x+48
-------
0
Das ging auch glatt auf. x²+4x+16
Wir hatten es dann weiter mit der pq Formel versucht, aber sind dort dann nicht weiter gekommen. Soweit ich mich noch richtig an die Formel erinnere:
x2/3 = -4/2 +- Wurzel aus ((4²/4)-16)
x2/3= -2 +- Wurzel aus -12
Und da man aus Negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gehts da nicht weiter.
Mit diesem Rechenweg lassen sich auch nur die reellen Nullstellen bestimmen, ich suche aber nach den komplexen.
Soweit richtig.
Nene, damit lassen sich auch durchaus komplexe Nullstellen bestimmen.
Das ist ja gerade der Witz an den komplexen Zahlen:
Problem: In manchen Rechnungen tauchen unter Wurzeln negative Zahlen auf und dann geht es nicht weiter. Zum Beispiel bei der Nullstellenbestimmung.
Lösung: Tun wir einfach so, als ob Wurzeln aus negativen Zahlen funktionieren würden und definieren uns eine imaginäre Zahl i mit der Eigenschaft i = Wurzel(-1).
Und nun wendet man stur die Wurzelgesetze an:
Wurzel(a*b) = Wurzel(a)*Wurzel(b).
Wurzel(-12) = Wurzel(-1 * 12) = Wurzel(-1) * Wurzel(12) = i*Wurzel(12) = i*2*Wurzel(3).Also in deinem Fall: x[sub]1,2[/sub] = -2 ± Wurzel(-12) = -2 ± i*2*Wurzel(3).
Und nun noch in die trigonometrische Form überführen. Weißt Du / wisst ihr wie das geht oder braucht ihr da noch 'ne kurze Erklärung für?