[Mathe] Imaginärzahlen

[werter]

Ich such den Rechenweg und Formeln von der 4 Wurzel von i

Lösung müste sein 1/2 PI, PI, 1,5 PI und 2 PI

und dann noch die vierte Wurzel von der Zahl 1

 

[DaPhreak]

Du kannst jede komplexe Zahl x schreiben als |x|*e[sup]i*φ[/sup], wobei |x| der Betrag ist und φ der Phasenwinkel.

Wenn Du 2*pi (360°) zum Phasenwinkel addierst, ändert das an der Zahl nichts. Für jedes x gibt es also unendlich viele Darstellungen nämlich
|x|*e[sup]i*(φ+k*2*π)[/sup]
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Wenn Du jetzt die Wurzel aus x berechnen willst, kannst Du die Potenzgesetze anwenden:

Wurzel(x)
= Wurzel(|x|)*Wurzel(e[sup]i*(φ+k*2*π)[/sup])
= Wurzel(|x|)*e[sup]i*(φ/2+k*π)[/sup]

Da Vielfache von 2*pi im Phasenwinkel auf die gleiche Darstellung führen gibt es also zwei echt verschiedene Lösungen für die Wurzel:
Wurzel(x)
= Wurzel(|x|)*e[sup]i*(φ/2+π)[/sup]
(oder)
= Wurzel(|x|)*e[sup]i*φ/2[/sup]


Bei der vierten Wurzel bekommst Du vier echt verschiedene Lösungen:
VierteWurzel(x)
= VierteWurzel(|x|)*e[sup]i*φ/4[/sup]
(oder)
= VierteWurzel(|x|)*e[sup]i*(φ/4+π/2)[/sup]
(oder)
= VierteWurzel(|x|)*e[sup]i*(φ/4+π)[/sup]
(oder)
= VierteWurzel(|x|)*e[sup]i*(φ/4+3*π/2)[/sup]


Zu deinen Beispielen:
Für das i hast du die Darstellung i=e[sup]i*π/2[/sup] und damit die vier Lösungen:
VierteWurzel(i) = e[sup]i*π/8[/sup], e[sup]i*5*π/8[/sup], e[sup]i*9*π/8[/sup], und e[sup]i*13*π/8[/sup]

Für 1 hast Du die Darstellung 1 = e[sup]i*0[/sup] und damit die vierten Wurzeln:
e[sup]i*0[/sup] = 1
e[sup]i*π/2[/sup] = i
e[sup]i*π[/sup] = -1
e[sup]i*3*π/2[/sup] = -i


HTH,
Flo.


*edit* Verlesen, Du wolltest die vierte Wurzel von i. Korrigiert.