Ableitung (unmenschlich?)

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triger23

Well-known member
ID: 199383
L
21 April 2006
185
2
Hi euch allen,

ich habe ein mittelschweres Problem:biggrin::

Für ein Beleg, in Analysis, müssen wir bei einer Teilaufgabe die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion berechnen:

f(x)=(sin(x)*sqr(x³))/cosh(x) 8O

Entweder bin ich zu blöd eine Vereinfachung zu finden oder die 2. Ableitung ist so unmenschlich groß, dass das Blatt für quer nicht mal ausreicht!

p.s.: die Funktion ist so gegeben! :roll:

Danke schon mal für eure Antworten!
 
1. Ableitung:

cos(x)*sqrt(x³)+sin(x)*3*sqrt(x)
____________________________
(e^x)-e^(-x)

2. Ableitung:

{[(e^x)-e^(-x)]*[sin(x)*sqrt(x³)+cos(x)*4,5*sqrt(x)+sin(x)*1,5/sqrt(x)]-[cos(x)*sqrt(x³)+sin(x)*3*sqrt(x)]*[(e^x)+e^(-x)]}/[(e^x)-e^(-x)]²


Gib es am besten in einen Formeleditor ein, dann sieht es vllt übersichtlicher aus. ;)

Außerdem hoffe ich natürlich, dass es so stimmt. Ist schon ein ganz schöner Brocken...
 
Matlab meint das:

:arrow: 1. Ableitung:


(da sieht dhiefs Lösung kürzer aus, da nur 2 Terme im Zähler)

:arrow: 2. Ableitung:


(dafür hier nur 5 Terme im Zähler)


Hab jetzt allerdings auch nicht versucht, nachzuvollziehen, da hin zu kommen, insofern kann ich nur hoffen, dass es stimmt...
 
dhief schrieb:
1. Ableitung:

cos(x)*sqrt(x³)+sin(x)*3*sqrt(x)
____________________________
(e^x)-e^(-x)

2. Ableitung:

{[(e^x)-e^(-x)]*[sin(x)*sqrt(x³)+cos(x)*4,5*sqrt(x)+sin(x)*1,5/sqrt(x)]-[cos(x)*sqrt(x³)+sin(x)*3*sqrt(x)]*[(e^x)+e^(-x)]}/[(e^x)-e^(-x)]²


Gib es am besten in einen Formeleditor ein, dann sieht es vllt übersichtlicher aus. ;)

Außerdem hoffe ich natürlich, dass es so stimmt. Ist schon ein ganz schöner Brocken...
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ich schau mir das morgen weiter an! mich wundert bei deiner lösung sqrt(x³)=(x³)^(1/2)=x^(3/2) abgeleitet ist es 3/2 * sqr(x)
, du hast vieleicht gekürtzt was ich jetzt noch nicht gesehen habe!

ich melde mich morgen nochma, aber danke bis dahin!
 
triger23 schrieb:
ich schau mir das morgen weiter an! mich wundert bei deiner lösung sqrt(x³)=(x³)^(1/2)=x^(3/2) abgeleitet ist es 3/2 * sqr(x)
, du hast vieleicht gekürtzt was ich jetzt noch nicht gesehen habe!

ich melde mich morgen nochma, aber danke bis dahin!
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Soweit ich mich erinnere, ist das zusammengefasst, dh. 3/2 + 3.

Meine 2. Ableitung nochmal zusammengefasst (mit coshx und sinhx ersetzt)

{sinh(x)*[sin(x)*sqrt(x³)+cos(x)*4,5*sqrt(x)+sin(x)*1,5/sqrt(x)]-[cos(x)*sqrt(x³)+sin(x)*3*sqrt(x)]*cosh(x)}/cosh(x)²
 
1.Ableitung

[cosh(x)*sin(x)*(3/2)*sqrt(x)+cosh(x)*cos(x)*x^(3/2)-sin(x)*x^(3/2)*sinh(x)]/cosh²(x)

erst im zähler produktregel
dann insgesamt quotientenregel
 
Was Dir eventuell helfen könnte ist die Quotientenregel für zweite Ableitungen.

Du weißt ja, dass Du die Ableitung einer Funktion
Formeludurchv6901f.png
ausdrücken kannst als:

Formelquotrule9fd54.png


(hab das (x) mal weggelassen der Übersichtlichkeit halber)

Nun kannst Du die zweite Ableitung bestimmen, in dem Du nochmal die Quotientenregel anwendest. Bevor Du aber für u und v einsetzt, kannst Du ein paar Sachen vereinfachen.

Also denn, ableiten und Quotientenregel. Wir bekommen:

Formelquotrule220328.png


Im Zähler gibt es noch ein paar Terme, die abgeleitet werden müssen. Zunächst mal den (2x Produktregel)

Formelprodrule2980f9.png


Wie Du siehst kürzen sich hier schon mal 2 Terme weg. Das spart später viel Arbeit... :)

Jetzt den anderen (Kettenregel):
Formelchainrule818d4.png


Okay, die letzten beiden können wir nun in den Bruch oben einsetzen:
Formelquotrule305ef8.png


Schon wieder gibt es eine Vereinfachung: Wir können ein v kürzen!
Formelquotrule486af0.png


Und nun ausmultiplizieren:
Formelquotrule5f87f5.png



Voilá! Die zweite Ableitung eines Quotienten, gilt für beliebige u und v. Ich finde das sollte in jede Formelsammlung, aber man findet es recht selten.

In die Formel könntest Du jetzt direkt einsetzen.

Bei Dir ist:
Formelux302b6.png

Formelvxb48bd.png


Jetzt musst Du bilden: u'(x), u''(x), v'(x), v''(x)... und dann einsetzen. Danach kannst Du immer noch probieren, was zu vereinfachen.

Ich hoffe mal ich hab jetzt keinen Fehler drin, hab die Formel nirgends gefunden zum überprüfen. Müsste aber ansich ungefähr hinhauen.
 
na wunderbar! auf so eine Idee bin ich gar nicht gekommen, hab da auch nichts zu gefunden! ich danke dir riesig, das wird mir in anderen aufgaben sicher noch enorm weiter helfen!!
Ich war so darauf versteift bei den trigonometrischen Funktionen was zusammen zufassen das ich nach nichts anderen gesucht habe.
Aber das macht es echt enorm leichter! Danke! Vielen Dank!!!
 
Bitte bitte, keine Ursache. :)

Mit ein bisschen Geduld und Spucke findet man solche Regeln auch für die dritte und höhere Ableitungen. Auch da kann man im vorhinein viel kürzen und vereinfachen, bei der dritten steht dann z.B. nur ein v[sup]4[/sup] im Zähler. Wundert mich, dass die Regeln so unbekannt sind, für mich war das der einzige Weg den ich finden konnte, höhere Ableitungen von Brüchen überhaupt noch beherrschbar zu machen.

Viel Erfolg noch mit der Analysis! ;)


*edit* Mir ist grad aufgefallen, dass man die Formel noch anders schreiben kann... so merkt sie sich auch besser und ist besser geeignet zur "Weiterverarbeitung":

 
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triger23 schrieb:
Hab den Beleg zurück bekommen und bei dieser Aufgabe hatte ich nur ein 10cm großes Fragezeichen daneben^^
Zum Vergrößern anklicken....

8O

Die Herleitung für die Quotientenregel hast aber schon mit aufgeschrieben oder? Sonst ist klar, dass sich der Korrektor wundert woher die Formel auf einmal kommt, wie gesagt, so bekannt ist die nicht. ;)

Frag doch da einfach nochmal nach... ;)
 
Jub so wie du sie oben hergeleitet hast, jeden kleinen Schritt und dann eingesetzt alles! wie beschrieben! nuja werd mal fragen wenn ich zeit finde, morgen ist ja schon Prüfung^^ *panik*
 
Hi,

also bis jetzt hat sich noch keine Gelegenheit ergeben zu fragen. Aber ich werde es aufjedenfall noch machen, nach den Püfungen.

Aber bestanden hab ich! :biggrin:



gruß
 
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