Mathe Vektoren Winkelberechnung

[Marc1995]

Hallo,

Muss für den Matheunterricht herleiten, wie man den Winkel auf dem untenstehenden Bild bestimmen kann.

Gesucht ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Vektor PR.





Meine Idee war jetzt folgendes:

Cos(Phi) = |n0| * |PR|

 

[apolle]

Die Punkte PFR bilden ein rechtwinkliges Dreieck, darin gilt cos(Phi) = d / r

 

[Marc1995]

Wo hab ich da dann n???

 

[DaPhreak]

Gesucht ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Vektor PR.

Was hast Du denn gegeben? n[sub]0[/sub] und r? Oder d?

Falls Du n[sub]0[/sub] und r hast würde ich mal sagen cos(φ) = <n[sub]0[/sub],r> / ||r||, wobei <a,b> das innere Produkt (Skalarprodukt) zwischen den Vektoren <a,b> ist und ||a|| die Länge des Vektors a (Euklidsche Norm).


*edit* Falls Du n und r hast dann auch noch durch die Länge von n teilen also

cos(φ) = <n,r> / ||n|| / ||r||

 

[DaPhreak]

Sorry für das Doppelposting aber ich bin kein Freund von PNs bei Dingen die für alle interessant sein könnten

Vielen Dank für die Erklärung.

Hast du vielleicht noch eine Art "Herleitung" wie ich es an der Tafel präsentieren muss?

Was willst Du da herleiten? Normalerweise wird das Skalarprodukt genau über den Winkel definiert den Du suchst, also als das jenige Produkt für das gilt <a,b>=||a|| ||b|| cos(?). Damit ist klar wie man auf ? kommt.

Falls Du den Zusammenhang zur Direktform in kartesischen Koordinaten brauchst (àla a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub]+a[sub]3[/sub]b[sub]3[/sub]) schau mal hier.

 

[Marc1995]

Herleiten, wie ich den Winkel berechne.

Also ich denke mal einfach ne Formel aufstellen und dann durch Einsetzen ne richtige Lösung erhalten.


LG

 

[DaPhreak]

Herleiten, wie ich den Winkel berechne.

Naja es steht und fällt mit dem Skalarprodukt. Ich würde zeigen, dass es einerseits definiert ist über den Winkel zwischen den beiden Vektoren (<a,b>=||a|| ||b|| cos(φ)), sich andererseits in kartesischen Koordinaten direkt berechnen lässt (<a,b>=a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub]+a[sub]3[/sub]b[sub]3[/sub]).

Aus den beiden Gleichungen kannst Du dann den Winkel bestimmen. Und wenn Du willst dann auch gern Zahlen einsetzen.

 

[Marc1995]

Merci.


Das über Trig. im Rechtwinkligen Dreieck ist aber auch korrekt?

Also Betrag der jeweiligen Vektoren sind ja die Länge der Seiten?

 

[DaPhreak]

Das über Trig. im Rechtwinkligen Dreieck ist aber auch korrekt?

Jojo, das war schon korrekt alles.