[Mathe] Lösungsgleichungssystem 12. Klasse + Knobelei

Hi,

also kommen bei 2 Aufgaben in Mathe nicht weiter, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte

1.Aufgabe:
Es sollen 2 zweistellige Zahlen mit gleicher Quersumme bestimmt werden, von denen die eine doppelt so groß wie die andere ist. Stellen Sie ein LGS für die Ziffern auf und lösen Sie das Problem.

Mein Ansatz wäre:
x1 + x2 = x3 + x4 (Das mit gleicher Quersumme)

Aber mein Problem ist dann, wie ich dann das mit doppelt so groß in einer Gleichung einbauen kann

2.Aufgabe:
Man soll mit Hilfe eines homogenen LGS 6 reelle Zahlen so zyklisch anordnen, dass jede das arithmetische Mittel ihrer beiden Nachbar ist.

als Beispiel ist dort dann noch z2 = 1/2 z1 + 1/2 z3 und z3 = 1/2 z2 + 1/2 z4 angegeben.

Soll man dort einfach ein LGS mit 6 Variablen aufstellen, wobei immer 3 davon 0 wären, oder hat jemand einen anderen Lösungsweg dafür ?

Danke schonmal im Vorrau

MFG

der Betrag der ersten Zahl ist:

10*x1+x2

ich denke das sollte schon helfen, oder?

Zum zweiten:

Wenn du immer die gleiche Zahl einsetzt ist deine Bedingung erfüllt
ansonsten halt für jede Ziffer eine Gleichung der Beispielform aufstellen. Und dann mal schauen was du da eliminieren kannst und was stehen bleibt. Hab jetzt gerade keinen Überblick ob das schön wird, aber ein anderer Lösungsweg fällt mir erstmal nich ein.

Edit:
Ah, kurzes nachdenken bringt mich auf die Idee, dass die Lösung mit den gleichen Zahlen auch die einzige ist.
Annahme:
z2 >= z1
daraus folgt, dass z3 >= z2, sonst kann z2 nicht das arithmetische Mittel von z1 und z3 sein
das gilt natürlich auch für alle anderen Zahlen bis z6
also: z1 >= z2 >= z3 >= z4 >= z5 >= z6
wenns zyklisch sein soll, muss auch z6 >= z1

naja und dann bleibt nur noch "=" übrig...
is aber gerade nur ne fixe Idee... also keine Haftung ob ich nicht was übersehen habe.

Kann da meinem Vorredner nur beipflichten...

Mit Sören's Hinweis zur ersten kommt man auf ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 2 Variablen. Das hat natürlich ganz schön viele Lösungen, zu bedenken ist aber noch, dass x1, x2, x3 und x4 Ziffern sein müssen, also >=0 und <=9. Damit komme ich neben der trivialen Lösung auf genau eine weitere nichttriviale. Wobei da die Aufgabenstellung meiner Meinung nach bissl widersprüchlich ist. Naja rechne es mal nach, dann erklär ich Dir was ich meine.


Bei der zweiten stimmt natürlich Sören's Ungleichungsargument auf jeden Fall. Wenn man es trotzdem mal nachrechnet kommt man auf 6 Gleichungen mit 6 Variablen. Eine der Gleichungen fällt allerdings raus, weil sie sich aus den anderen ergibt. Damit ist der Lösungsraum also eindimensional und siehe da, er wird vom Vektor [1, 1, 1, 1, 1, 1] aufgespannt, sprich alle 6 Zahlen sind gleich. Egal wie groß.


Hoffe das hilft, wenn nicht, frag einfach weiter nach.

danke ! ihr habt mir da echt weitergeholfen

Hab da wohl immer in die falsche richtung gedacht *lol*

MFG