Wahrscheinlichkeitsrechnung

[IKY]

Hi,

habe ne kleine Aufgabe, weil ich gerne was erechnen würde aber dazu nicht in der Lage bin, da ich Stochastik leider noch nicht in der Schule hatte.

In einem großem Glas befinden sich 9 rote Kugeln und 40.000 schwarze Kugeln. Wie erechne ich dabei die Wahrscheinlichkeit nach X Durchläufen aus eine schwarze Kugel zu ziehen?
Die Wahrscheinlichkeit nach einem Versuch eine schwarze Kugel zu erwischen beträgt 9:40000. Aber nach 10 oder nach 1000 Durchläufen?

Die Kugeln werden nach jedem ziehen wieder zurück in das Glas geworfen, sodass bei jedem ziehen 40.000 Kugeln im Glas vorhanden sind.

Danke im voraus

 

[Tidus9]

So ganz kann die Aufgabe nicht stimmen. Es sind nach der obrigen Beschreibung 40.009 Kugeln in dem Glas. Weiter unten müsste man von 39.991 Schwarzen und 9 Roten ausgehen.

Willst du nun von insgesamt 40.000 Kugeln die Wahrscheinlichkeit der Schwarzen haben, teilst du diese einfach: 39991/40000 = 0,999775.

Aufgrund der Tatsache, dass es sich um ein Experiment mit Zurücklegen handelt, gilt diese Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung.

Möchtest du nun errechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist 10 Schwarze nacheinander zu ziehen, so multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten, die hier gleich sind und daher kann man 0,999775^10 schreiben.

Für ein Beispiel mit 10 roten Kugeln müsstest du die Gegenwahrscheinlichkeit der Schwarzen nehmen, nämlich 1-0,999775 = 0,000225. Das wird auch wieder mit hoch 10 potenziert.

Ich hoffe damit sind deine Fragen beantwortet. Mich wundert, dass du nie Stochastik in der Schule hattest...

 

[IKY]

So ganz kann die Aufgabe nicht stimmen. Es sind nach der obrigen Beschreibung 40.009 Kugeln in dem Glas. Weiter unten müsste man von 39.991 Schwarzen und 9 Roten ausgehen.

Sry hatte ich falsch geschrieben. Ja es sollte von 39.991 Schwarzen und 9 Roten ausgegangen werden. Also insgesamt 40.000 Kugeln

Willst du nun von insgesamt 40.000 Kugeln die Wahrscheinlichkeit der Schwarzen haben, teilst du diese einfach: 39991/40000 = 0,999775.

Ne, ich will die der roten also 9/40000.

Aufgrund der Tatsache, dass es sich um ein Experiment mit Zurücklegen handelt, gilt diese Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung.
Möchtest du nun errechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist 10 Schwarze nacheinander zu ziehen, so multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten, die hier gleich sind und daher kann man 0,999775^10 schreiben.
Für ein Beispiel mit 10 roten Kugeln müsstest du die Gegenwahrscheinlichkeit der Schwarzen nehmen, nämlich 1-0,999775 = 0,000225. Das wird auch wieder mit hoch 10 potenziert.
Ich hoffe damit sind deine Fragen beantwortet.

Nein nicht wirklich. Ich möchte wissen wir hoch die Wahrscheinlichkeit ist nach zum Beispiel 1000 Durchläufen eine rote Kugel zu ziehen.

Mich wundert, dass du nie Stochastik in der Schule hattest...

Damit fangen wir ab dem Frühjahr an. Wir haben anderen Themen vorgezogen.

Danke schonmal für deine schnelle Antwort

 

[jimmy08]

Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht. Es ist egal ob Du zum ersten Mal ziehst oder zum tausendsten. Das System hat ja kein Gedächtnis. Solange Du nach einem Ziehen die Kugel wieder zurücklegst ändert sich nichts.

 

[marac]

Ich möchte wissen wir hoch die Wahrscheinlichkeit ist nach zum Beispiel 1000 Durchläufen eine rote Kugel zu ziehen.

Soll unter den 1000 gezogenen Kugeln genau eine oder mindestens eine rote Kugel sein?
Für mindestens eine war der Ansatz von Tidus ja nicht verkehrt. Du weißt, wie du berechnen kannst, dass du bei 1000 Ziehungen 1000 schwarze Kugeln bekommst. Wie hoch ist dann wohl die Wahrscheinlichkeit, dass du eben nicht 1000 schwarze (sondern mindestens einmal eine rote) ziehst?!?

Bei genau einer roten sieht das natürlich ein bisschen anders aus:

s[sup]999[/sup] * r[sup]1[/sup] * 1000

(Also Wahrscheinlichkeit für schwarz hoch 999 (für 999 schwarze Kugeln) mal Wahrscheinlichkeit für rot hoch 1 (für eine rote Kugel) mal 1000 (weil es egal ist, welche der tausend Kugeln denn nun rot ist))

 

[IKY]

Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht. Es ist egal ob Du zum ersten Mal ziehst oder zum tausendsten. Das System hat ja kein Gedächtnis. Solange Du nach einem Ziehen die Kugel wieder zurücklegst ändert sich nichts.

Das ist mir auch klar.
Wenn ich aber 1000mal ziehe habe ich doch eine höhere Change eine rote Kugel zu ziehen.
Angenommen ich habe 100 Gläser(selbe Gegebenheiten) und ich ziehe aus jedem Glas eine Kugel, ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen ja nicht insgesamt 9:40000. Sondern sie ist bei jedem Ziehen 9:40000.


@marac Achso gut dann habe ich es nur falsch verstanden. Danke dir.
Also ich die Wahrscheinlichkeit (bei meinen Gegebenheiten) nach 10000 Versuchen mindestens eine rote Kugel zu ziehen bei 94,9%?
1-(39991/40000)^10000

 

[Tidus9]

Hierzu muss man die Wahrscheinlichkeiten addieren. Da alle gleich sind, geht es ganz einfach über die Multiplikation. Solltest du also 1000 mal ziehen, so lautet das Ergebnis: 1000*0,000225 = 0,225 = 22,5 %.

 

[jimmy08]

Addieren darf man die Wahrscheinlichkeiten nicht. Wenn man z.B. bei einem Experiment mit drei Möglichkeiten dreimal zieht, hat man ja auch nicht die Wahrscheinlichkeit 1, dass man mindestens einmal genau ein Ergebnis erzielt.

Meiner Meinung nach ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel bei 1000 Versuchen immer noch 1-(39991/40000).
Du hast 999 Versuche bei denen Dir das Ergebnis egal ist (Wahrscheinlichkeit 1) und einen bei dem Du eine rote Kugel willst (Wahrscheinlichkeit 1-(39991/40000)) die beiden multiplizierst Du dann miteinander.

 

[marac]

Also ich die Wahrscheinlichkeit (bei meinen Gegebenheiten) nach 10000 Versuchen mindestens eine rote Kugel zu ziehen bei 94,9%?
1-(39991/40000)^10000

Ich hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber zumindest der Weg ist korrekt.

Hierzu muss man die Wahrscheinlichkeiten addieren.

Wie kommst du denn darauf? Wenn ich zwei mal eine Münze werfe, habe ich also eine 100%-Wahrscheinlichkeit für einmal Zahl (2*50%)? Und wenn ich sie drei mal werfe, komme ich auf 150%?

Meiner Meinung nach ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel bei 1000 Versuchen immer noch 1-(39991/40000).
Du hast 999 Versuche bei denen Dir das Ergebnis egal ist (Wahrscheinlichkeit 1) und einen bei dem Du eine rote Kugel willst (Wahrscheinlichkeit 1-(39991/40000)) die beiden multiplizierst Du dann miteinander.

Was ist aber, wenn bei einem deiner 999 Versuche, bei denen es dir egal ist, bereits eine rote Kugel auftaucht? Nein, solche "mindestens eine"-Aufgaben laufen immer über das Gegenereignis. Auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, nur schwarze Kugeln zu erwischen (also keine rote), ist nicht wirklich schwierig, und wenn ich das weiß, weiß ich auch, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau das eben nicht eintrifft...

 

[jimmy08]

Ok, jetzt hab' ich es auch verstanden. Du hast natürlich recht.

 

[IKY]

danke euch kann geschlossen werden

 

[DocTrax]

edit

 

[Tidus9]

Wie kommst du denn darauf? Wenn ich zwei mal eine Münze werfe, habe ich also eine 100%-Wahrscheinlichkeit für einmal Zahl (2*50%)? Und wenn ich sie drei mal werfe, komme ich auf 150%?

Für das einzelne Ereignis ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, doch für das ganze Experiment ist es sehr wohl entscheidend wie oft man zieht.

 

[marac]

Für das einzelne Ereignis ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, doch für das ganze Experiment ist es sehr wohl entscheidend wie oft man zieht.

Sicher, was anderes habe ich auch nicht behauptet, nur dass das mit der Summe nicht hinhauen kann, solltest du an diesem Beispiel durchaus erkennen können...

 

[DocTrax]

Sicher, was anderes habe ich auch nicht behauptet, nur dass das mit der Summe nicht hinhauen kann, solltest du an diesem Beispiel durchaus erkennen können...

ack
Bei dem Münzen Beispiel gibts bei einem Wurf 2 Möglichkeiten: {K;Z}
Bei 2 Würfen gibt es schon 2^2 Möglichkeiten: {(K,K);(K,Z);(Z,K);(Z,Z)} => 75% Wahrscheinlichkeit für Zahl oder Kopf.
Bei 3 Würfen gibt es 2^3 Möglichkeiten: {(K,K,K);(K,K,Z);(K,Z,K);(K,Z,Z);(Z,K,K);(Z,Z,K);(Z,K,Z);(Z,Z,Z)} => 87,5% Wahrscheinlichkeit für Zahl oder Kopf

Bei den Kugeln gibts bei einem Versuch eben 40000 Möglichkeiten, davon 9 mit einer roten Kugel, und bei 1000 Versuchen 40000^1000 Möglichkeiten, davon 1000 mit genau einer roten Kugel.