Vektoren - Berechnung eines unregelmäßigen Vierecks

[IKY]

Hallo,

ich bin gerade eine Aufgabe am rechnen in der eine Ebene einen Würfel schneidet an den Punkten ABCD. Alle Punkte sind gegeben bzw. erechenbar.
Man soll nun den Flächeninhalt des Vierecks erechnen.
Die eine Möglichkeit ist es das Viereck in 4 rechteckige Dreiecke zu unterteilen und so jeweils den Flächeinhalt zu berechnen.

Zufälligerweise kommt als Ergebnis die Länge des Normalenvektors*5/3 der Ebene raus. (Wurzel(a²+b²+c²))*5/3

Ist das Zufall oder gibt es wirklich einen leichteren Weg?

Gruß Nico

 

[joschilein]

Du kannst dir doch ganz einfach virtuell vorstellen, wie der Würfel (schief) durch eine Ebene gleitet. Je nach dessen Winkel gibt es bestimmte Bereiche der sich ergebenden Schnittfläche. Das Maximum ist gegeben, wenn die Fläche möglichst diagonal über die Ecken liegt, Minimum (wenn gegenüberliegende Seiten geschnitten werden) ist die (bei 90° Winkel) die Grundfläche und bis zu null geht es, wenn nur noch des letzte Zipfelchen einer Ecke schneidet - aber dann sind es ja auch nur noch drei Schnittpunkte.

Sicher ist das Ergebnis immer ein Vielfaches von irgendwas, aber sicher niemals zwangsläufig das selbe Vielfache, es kommt somit immer auf den Winkel zwischen Ebene und Würfel an.

 

[Tidus9]

Den Flächeninhalt zu berechnen, ist relativ einfach. Die Idee das Viereck in 2 Dreiecke zu unterteilen, finde ich schon ganz gut.

Für das Dreieck hast du ja die Formel: 1/3*(a X b). Das Kreuz steht für das Kreuzprodukt aus beiden. Dann suchst du dir einen Eckpunkt aus, z.B. "A" und wählst die beiden Vektoren, die sich aus den fortlaufenden Strecken ergeben. Bei einem Dreieck "ABC" wäre das dann die Strecke "AB" und "AC". Hast du die beiden Vektoren errechnet, bildest du das Kreuzprodukt und multiplizierst den erhaltenden Vektor mit 1/3.

Dann erhältst du ja 3 Zahlen. Davon bildest du den Betrag, indem du alle 3 Zahlen quadrierst, addierst und dann daraus die Wurzel ziehst. Dieser Wert ist dann dein Flächeninhalt.

 

[MrToiz]

Für das Dreieck hast du ja die Formel: 1/3*(a X b).

Nicht ganz, erstens ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren wieder ein Vektor und zweitens stimmt der Faktor nicht.

Richtig wäre: A = 1/2 * |a X b|

Denn der Betrag des Kreuzproduktes entspricht genau dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Das Dreieck hat nun genau die Hälfte davon als Fläche.

Für ein beliebiges ebenes Viereck ABCD gilt also:

A = 1/2 ( |a X b| + |c X d| )

Wobei a den Vektor von Punkt A zu B beschreibt, b den von B zu C usw.

 

[Tidus9]

Nicht ganz, erstens ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren wieder ein Vektor und zweitens stimmt der Faktor nicht.

Der Faktor war nicht richtig, stimmt. Ich hätte wohl doch vorher noch einmal nachschauen sollen. Das Kreuzprodukt ist wieder ein Vektor - etwas anderes habe ich nie behauptet. Multiplizierst du allerdings mit 1/2 kommt eine Zahl heraus. Der Flächeninhalt kann ja keinen Vektor als Ergebnis haben...

 

[DaPhreak]

Der Faktor war nicht richtig, stimmt. Ich hätte wohl doch vorher noch einmal nachschauen sollen. Das Kreuzprodukt ist wieder ein Vektor - etwas anderes habe ich nie behauptet. Multiplizierst du allerdings mit 1/2 kommt eine Zahl heraus.

Wenn ich 'nen Vektor mit 1/2 multipliziere ist das immer noch ein Vektor.

Der Flächeninhalt kann ja keinen Vektor als Ergebnis haben...

Eben, deshalb ist das, was noch gefehlt hat das Bilden des Betrags des Vektors. Denn die Fläche ist nicht 1/2 mal dem Vektor sondern 1/2 mal dem Betrag des Vektors.

 

[Tidus9]

Eben, deshalb ist das, was noch gefehlt hat das Bilden des Betrags des Vektors. Denn die Fläche ist nicht 1/2 mal dem Vektor sondern 1/2 mal dem Betrag des Vektors.

Davon bildest du den Betrag, indem du alle 3 Zahlen quadrierst, addierst und dann daraus die Wurzel ziehst. Dieser Wert ist dann dein Flächeninhalt.

Hatte ich auch geschrieben...

 

[DaPhreak]

Davon bildest du den Betrag, indem du alle 3 Zahlen quadrierst, addierst und dann daraus die Wurzel ziehst. Dieser Wert ist dann dein Flächeninhalt.

Hatte ich auch geschrieben...

Okay, den Teil hatte ich nicht gelesen... fand nur den letzten Beitrag etwas irritierend. Aber so passt es ja jetzt.