[Mathe] Grenzwerte

T

Toschi5

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20 April 2006
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Buhh :(

Ich hab hier wieder gar keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen muss...
Hab mal eine abfotografiert (ja ich hab keinen Scanner):

https://www.toschis-world.de/mathe1.JPG

Nun das was ich behalten hab ist, dass ich für das obere erst so eine binomiale Schreibweise? finden muss.
Da hab ich:

(x+3) * (x-2) rauß.

Dann muss ich das Untere (auch Nenner genannt) durch Polynomdivision erst durch das erste Glied von oben (x+3) und dann durch das 2.Glied (x-2) teilen und schauen wo das aufgeht...

Und dann?
Kann das leider auch nicht irgendwie lösen, weil das auch noch am Mittwoch eingesammelt wird...
 
Ja und wo ist das Problem? Du hast doch schon den richtigen Ansatz.
lim(x->-3) (x^2+x-6)/(x^2+2x-3) = lim(x->-3) ((x+3)*(x-2))/((x+3)*(x-1)) = -5/-4 = 1,25

Dabei sei auch die - wie ich finde - einfachere Variante anzusprechen. Man kann den Grenzwert nämlich auch gegen die Ableitung von Zähler und Nenner bilden (keine Divisionsregel bei der Ableitung verwenden):

lim(x->-3) (x^2+x-6)/(x^2+2x-3) = lim(x->-3) (2x+1)/(2x+2) = -5/-4 = 1,25


So, bei der anderen darfst du selbst ;)
 
Huch erlaube mir noch eine Zwischenfrage:

Was mach ich mit der Zeile:
(x+3) (x-2)
----------
(x+3) (x-1)

damit ich auf -5/-4 komme?
 
Zuletzt bearbeitet:
Du setzt ganz einfach x = - 3.

dann hast du da stehen:
(-3 + 3) (-3 - 2)
----------------
(-3 + 3) (-3 -1)

dann siehst dus schon, wohins läuft.

(-3 + 3) --->0
(-3 - 2) ---> -5
----------------------
(-3 + 3) ---> 0
(-3 -1) ---> -4

Das ergibt als -5/-4 = 1,25
 
Ähm Piepsy, wenn du an der Stelle x einsetzt, hättest du dir den ganzen Käse mit der Polynomfaktorzerlegung sparen können, denn wie wir alle wissen ist Null mal irgendwas immer Null und zu dem Ergebnis sind wir schließlich schon bei der ursprünglichen Aufgabe gekommen. Wäre da übrigens nicht null rausgekommen, bräuchte man den ganzen Rest nicht zu machen.
Also man kürzt natürlich erst (x+3) weg. Eigentlich dachte ich, dass das offensichtlich ist, aber gut.. Kann man ja schließlich wegkürzen, da in Zähler und Nenner nur Produkte vorkommen. Naja und der Rest ergiebt nach einsetzen von x das bekannte Ergebnis
 
Hmm.... halt mich jetz für dumm, aber wenn ich lim x --> -3 einsetze, dann erreiche ich die -3 niemals exakt. Ich nähere mich der Zahl einfach an.

Damit hätte ich eine theoretische 0.... tatsächlich ists aber eine minimale +- Abweichung. Somit darf man das ruhig einsetzen.

Bei lim --> +- oo macht mans ja auch, dass einfach eine unendlich große oder negative Zahl eingesetzt wird....

Lieg ich so falsch??
 
joschilein schrieb:
Dabei sei auch die - wie ich finde - einfachere Variante anzusprechen. Man kann den Grenzwert nämlich auch gegen die Ableitung von Zähler und Nenner bilden (keine Divisionsregel bei der Ableitung verwenden):

lim(x->-3) (x^2+x-6)/(x^2+2x-3) = lim(x->-3) (2x+1)/(2x+2) = -5/-4 = 1,25
Zum Vergrößern anklicken....

Dazu sei gesagt, dass das nur funktioniert, wenn Zähler und Nenner an der Stelle 0 sind! (wer sich weiter darüber informieren möchte googelt mal nach den Regeln von de l'Hospital)
 
@piepsy: Beim Grenzwert gegen Unendlich setzt man nicht einfach nur eine größe Zahl ein, sondern quasi wirklich unendlich. Ginge es bei der hier besprochenen ersten Aufgabe nicht gegen -3, sondern gegen unendlich, stünde dann im zweiten Schritt (lim x->unendlich ) (1 + 1/x - 6/x^2) / (1 + 2/x - 3/x^2) = (1 + 0 + 0) / (1 + 0 + 0) = 1. Man kann also im gewissen Rahmen schon mit unendlich rechnen. Natürlich ist es gewöhnungsbedürftig.

Edit: Da hätte ich doch fast ne halbe Antwort unterschlagen.. Beim Grenzwert gegen eine Zahl setzt man also auch den Grenzwert ein. Natürlich ist man gedanklich immer den unendlich kleinen Rest nebendran, aber 1 / unendlich ist eben auch 0. Grenzwerte will man ja in der Regel an Definitionsgrenzen/Definitionslücken wissen. Wie eben hier, weil man nunmal nicht durch 0 teilen darf, man aber 0 rausbekommt, wenn man -3 einsetzen will. Der Grenzwert ist dann also quasi ein Ersatz-Funktionswert, der angiebt "Wie wäre die Funktion an dieser Stelle, wenn sie keine Funktionslücke hätte".

@MrToiz: Na genau die de L’Hospital'sche Regel habe ich mal angesprochen. Leider wird die im Schulunterricht praktisch nie verwendet, obwohl ich sie viel schöner und schneller finde.
btw: Der Vorteil an der Polynomfaktorzerlegung sind die automatisch mitgefundenen Nullstellen, aber das bringt auch nur was, wenn die auch gefragt sind.
 
Zuletzt bearbeitet:
Gibts da auch eine "Rechnung" wie ich von der Gleichung auf die "binomial?" Form komme?

Hab jetzt x²-3x+2 und hab schon Blätter voller Möglichkeiten geschrieben, aber nie kommt das rauß...
 
Toschi5 schrieb:
Gibts da auch eine "Rechnung" wie ich von der Gleichung auf die "binomial?" Form komme?

Hab jetzt x²-3x+2 und hab schon Blätter voller Möglichkeiten geschrieben, aber nie kommt das rauß...
Zum Vergrößern anklicken....
Ganz einfach:
x²-3x+2
=x²-3x+(3/2)²-(3/2)²+2
=(x- 3/2)² - (3/2)² + 2
=(x-1,5)² - 0,25

Probe:
(x-1,5)² - 0,25
=x² - 3x + 2,25 - 0,25
=x²-3x+2

Stimmt also! ;)

joschilein schrieb:
@MrToiz: Na genau die de L’Hospital'sche Regel habe ich mal angesprochen. Leider wird die im Schulunterricht praktisch nie verwendet, obwohl ich sie viel schöner und schneller finde.
Zum Vergrößern anklicken....
An meiner Schule wird sie auch nur im Mathe-LK benutzt... Und im Gegensatz zur Polynomfaktorzerlegung funktioniert sie auch mit nicht-Polynomen Funktionen (z.B. (x-1)/ln(x) o.ä.)
 
Ich hatte auch Mathe LK und da kam das nie vor (aber Ableitungen haben wir bis zum Erbrechen gepaukt). Jetzt studiere ich und in dem Matheteil ist nochmal so "einfacher" Kram wie Stetigkeiten, Grenzwerte etc. drangekommen und auch dort geht es nur um Polynome. Das mit l'Hopital habe ich auch nur beiläufig in einer alten Übungsklausur gesehen und mich dann dankend eingelesen.
 
Die drei kommt aus der ursprünglichen Formel:
x²-3x+2

Die 2 bzw das 1/2 kommt aus der Überlegung, wie das Ergebnis behandelt werden müsste. d ist hier die noch unbekannte Zahl des Polynomfaktors
(x-d)² = (x-d)*(x-d) = x² - x*d - d*x + d² = x² - 2dx + d²

Für die Teile x² und -3x passt der Polynomfaktor also schonmal, wenn man nämlich (x-1,5)² benutzt. Da 1,5² aber nicht wie gefordert 2, sondern 2,25 ist, muss noch ein Korrekturfaktor angesetzt werden, also noch - 0,25
 
Wenn ich doch dann aber die Polyomdivison mit
x²+3x-4 : x-1,5 mache, kommt doch dann wieder ne Aufgabe mit Rest rauß...:(
 
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