Mathe Erwartungswert berechnen

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Guten Abend,

ich bin momentan ein bisschen durcheinander vom Erwartungswert. Ich dachte den Erwartungswert verstanden zu haben und nun merke ich, dass ich es wohl doch nicht auf die Reihe bekomme.

Beispiel:

Roulett:

Setzen auf eine Zahl.

Gewinnwahrscheinlichkeit = 1/37
Auszahlung = 36 fache

Verlustwahrscheinlichkeit = 36/37
Auszahlung = 0

E(x) = 1/37 * 36 + 36/37 * 0 = 36/37

Das war bezogen auf ein Roulettspiel. Da verstehe ich den Erwartungswert. Hier nimmt man einfach die Wahrscheinlichkeit das man Gewinnt mal die Auszahlung + die Wahrscheinlichkeit das man Verliert mal die Auszahlung.

Aber wie sieht es denn bei folgender Aufgabe aus. Wenn es keine Auszahlung gibt?

Beim Würfelwurf bezeichnet X die geworfene Augenzahl. Berechnen Sie E(x)

a) für einen L-Würfel

Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl vom Würfel zu würfeln = 1/6

Werte sind vorhanden von 1 bis 6.

Aber wie soll ich E(x) berechnen? Es fehlt doch eine Auszahlung??? Und eine Definierung von Gewinn und Verlust?

Liebe Grüße

 

[sklemm]

Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl vom Würfel zu würfeln = 1/6

Werte sind vorhanden von 1 bis 6.

Aber wie soll ich E(x) berechnen? Es fehlt doch eine Auszahlung??? Und eine Definierung von Gewinn und Verlust?

Deshalb sollst du auch den Erwartungswert der Augensumme und nicht des Gewinns berechnen

Der Ansatz ist aber der Gleiche, du nimmst den Wert der Zufallsvariable multiplizierst mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst das über alle möglichen Werte auf.

Beim Roulette war die Zufallsvariable der Gewinn, dieser hat beim setzen auf eine Zahl genau 2 Mögliche Werte, totalverlust (=0-fach) und Gewinn(=36-fach)

Beim Würfel gibt es nun mehr mögliche Werte, nämlich die Augenzahlen von 1 bis 6.

Klar was ich meine? Ich denke jetzt kommst du selbst drauf.

HTH Sören

 

[Tab]

Also folgender Maßen.

E(x) = 1*1/6 + 1*1/6 + 1*1/6 + 1*1/6 + 1*1/6 + 1*1/6

oder so?

E(x) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6

Was sagt der Erwartungswert mir jetzt? Was ist die Aussage?

Liebe Grüße

 

[transversalis]

Einfach mal alle Möglichkeiten durchgehen:

Du würfelst einmal:

Ergebnis: 1 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6
Ergebnis: 2 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6
Ergebnis: 3 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6
Ergebnis: 4 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6
Ergebnis: 5 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6
Ergebnis: 6 mit Wahrscheinlichkeit: 1/6

Erwartungswert: 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 3,5

 

[Tab]

Okay.

Aber was sagt mir diese Zahl nun aus?
Bedeutet es, dass wir durchschnittlich eine 3,5 bekommen?

Liebe Grüße

 

[marac]

Bedeutet es, dass wir durchschnittlich eine 3,5 bekommen?

Korrekt! Wenn du oft genug würfelst, und die Summe der geworfenen Zahlen durch die Anzahl der Würfe teilst, solltest du in etwa bei 3,5 rauskommen...

 

[Tab]

Eine Aufgabe würde ich hier gerne noch vorrechnen.

Die Frage lautet:

Ein Mädchen wettet mit ihrem Vater, dass sie bei 4 maligem Würfeln mind. eine 6 bekommt. Der Einsatz beträgt 1 Euro.

a) Ist diese Wette Erfolgsversprechend?

Die einzige Chance, dass Sie verliert ist, wenn Sie 4 mal nacheinander nicht trifft. demnach:

P(x) = (1/6)^4

oder

P(x) = 1/6*1/6*1/6*1/6

Das Ergebnis für Verlieren ist: 1/1296

Das Ergebnis für einen Sieg: 1295/1296

Antwort: Aufgrund der hohen Wahrscheinlich eines Sieges, ist die Wette für das Mädchen Erfolgsversprechend.

b) Welchen Betrag müsste der Vater dagegenhalten, damit das Spiel fair ist?

Der Erwartungswert: E(x) = 1/1296 * 0 + 1295/1296 * 1 = 1295/1296

Da 1295/1296 = 0,9992... ergibt und nicht 1, ist das Spiel unfair. Aber wie berechne ich nun, wie viel der Vater dagegen Wetten muss?

EDIT:

Da ist glaube ich ein fehler:

E(x) = 1/1296 * (-1) + 1295/1296 * 1 = 647/648 = 0,99845679

Müss das Mädchen nun 0,99 Cent mehr einsetzen?

 

[marac]

Die einzige Chance, dass Sie verliert ist, wenn Sie 4 mal nacheinander nicht trifft. demnach:

P(x) = (1/6)^4

Falsch! Du willst doch die Wahrscheinlichkeit, dass vier mal keine 6 kommt... also P(x) = (5/6)^4 = 625/1296

Also gewinnt sie mit 671/1296.

 

[Benutzer-2472]

Falsch! Du willst doch die Wahrscheinlichkeit, dass vier mal keine 6 kommt... also P(x) = (5/6)^4 = 625/1296

Also gewinnt sie mit 671/1296.

Jepp, so hätte ich auch angesetzt 5/6 => sie verliert und das ganze mit 4 Würfen

also (5/6)^4

5^4 = 625 (günstig)
6^4 =1296 (möglich)

Günstige Ereignisse geteilt durch mögliche, als kleiner Merksatz.

=> 0,482253 ...
Gegenwahrscheinlichkeit 1-W(Gewinn_Tochter) = ~ 51,78 %

 

[Tab]

Wie kommt ihr auf 5/6?

Wenn sie 4 mal nacheinander keine 6 würfelt ist es doch folgende Wahrscheinlichkeit:

1. Würfeln = keine 6 (1/6)
2. Würfeln = keine 6 (1/6)
3. Würfeln = keine 6 (1/6)
4. Würfeln = keine 6 (1/6)

Und das zusammen multiplizieren = 1/1296???

Demnach ist ihre Chance auf einen Gewinn = 1-1/1296

 

[Tab]

Achso...

Die Chance, dass das Mädchen verliert = 5/6^4 = 625/1296
Die Chance, dass das Mädchen gewinnt = 1 - 625/1296 = 671/1296

Da das Mädchen eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit hat, ist es für Sie erfolgsversprechend zu spielen.


E(x) = 625/1296 * (-1) + 671/1296 * 1 = 23/648 =0,035

Stimmt das soweit???

 

[marac]

E(x) = 625/1296 * (-1) + 671/1296 * 1 = 23/648 =0,035

Fast... Das stimmt nur dann, wenn ihr Vater 1 € dagegen setzt. Und das war ja genau die Frage, wie viel der Vater dagegen setzen muss, damit das Ganze "fair" ist... Und "fair" ist das Spiel wohl dann, wenn beide Seiten einen Erwartungswert von 0 haben - sonst würde ja einer den anderen auf Dauer abzocken...

 

[Tab]

Aber wie kann ich denn herausbekommen, wie viel der Vater setzen muss?


Liebe Grüße

 

[Benutzer-2472]

Aber wie kann ich denn herausbekommen, wie viel der Vater setzen muss?

Ich würde es einfach umformen?

also 1 (damit es fair ist) = .. und dann die Gleichung umstellen

 

[Tab]

Ich würde es einfach umformen?

also 1 (damit es fair ist) = .. und dann die Gleichung umstellen

Den Erwartungswert umformen???

 

[marac]

also 1 (damit es fair ist) = .. und dann die Gleichung umstellen

Nicht ganz... Damit es fair ist, sollte der Erwartungswert wohl 0 sein (keiner gewinnt auf Dauer, keiner verliert)

@tab: So, wie du es jetzt hast (also mit 1€ vom Vater) muss die Tochter das Spiel ja nur "ausreichend oft" machen, und gewinnt im Schnitt 3,5 Cent pro Spiel. Wenn du also willst, dass Vater und Tochter im Schnitt keine Miesen machen, muss der Erwartungswert 0 sein. Also setzt du einfach

E = 625/1296 * (-1) + 671/1296 * x = 0

und löst das Ganze nach x (also dem Einsatz des Vaters) auf...

 

[Tab]

E = 625/1296 * (-1) + 671/1296 * x = 0

x = 625/1296 : 671/1296

x = 0,93

Also sollte der Vater 0,93 Euro setzen?

 

[marac]

Also sollte der Vater 0,93 Euro setzen?

Würde ich so sehen...
Wenn man das mal rein nach gesundem Menschenverstandbetrachtet, macht das ja auch Sinn: Die Tochter hat eine etwas höhere Gewinn-Wahrscheinlichkeit, deshalb muss ihr Einsatz etwas höher sein, damit das Ganze fair ist...

 

[Tab]

Aber:

E(x) = 625/1296*(-1) + 671/1296*0,93 = -7.4845...

Achne. 0,0000748... Aber hast recht dürfte hinkommen. Denn wir haben ja nicht alle Kommazahlen beachtet.

Vielen Dank...!!!