[Mathe] Wurzelgleichung Fehler suchen

[Necrolord]

Hallo Community,

ich hatte gestern mal wieder das Vergnügen mich mit Schulmathe auseinander zu setzen und muss meinem kleinen Bruder heute noch eine kleine Aufgabe nachreichen:



Ich bin der Meinung, dass hier der Fehler darin liegt, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Man sollte dementsprechend die durch das Qudadrieren gefunden Lösungen durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung verifizieren.

Tut man das hier bekommt man für +16 das Ergebnis 1/2 = - 1/2 , was offensichtlich falsch ist.
Für - 16 hat man schon den Widerspruch bei dem Radikanten, der nicht negativ sein darf.

Dementsprechend wäre die Lösungsmenge vorliegend die leere Menge.

Etwas verwirrt bin ich aber von dem Aspekt, dass wenn ich das Ganze ohne quadrieren ausrechne, sondern einfach durch Multiplikation mit "Wurzel x" ich zu dem Ergebnis x=-16 komme, was an sich ja auch aufgrund des negativen Radikants unzulässig wäre, unter Umständen aber nicht relvant ist, weil die Wurzel ja durch Multiplikation (= Äquivalenzumformung!) wegfällt.
Dann wäre die Lösungsmende die Menge der Zahlen -16.

Welche der beiden Wege ist denn richtig oder liege ich gar ganz falsch?
Und kann ich meinem Bruder grundsätzlich als Merkposten für seine Schulaufgabe mitgeben, dass er sobald er bei einer Gleichung quadriert, er anschließend die Lösungen verifizieren muss?

Vielen Dank für eure Antworten
Steffen

[transversalis]

Zitat von Necrolord

Dementsprechend wäre die Lösungsmenge vorliegend die leere Menge.

richtig. Im Bereich der reellen Zahlen ist die Wurzel(x) immer >= 0.
( In diesem Fall > 0, weil Wurzel(x) im Nenner steht und daher nicht 0 sein darf ).

Demnach ist 2/Wurzel(x) stets grösser 0, aber Wurzel(x)/-8 stets kleiner 0.
Es kann also keine Lösung für diese Gleichung geben.

Zitat von Necrolord

er anschließend die Lösungen verifizieren muss?

Das sollte er IMMER machen.

[Necrolord]

Zitat von transversalis

richtig. Im Bereich der reellen Zahlen ist die Wurzel(x) immer >= 0.
( In diesem Fall > 0, weil Wurzel(x) im Nenner steht und daher nicht 0 sein darf ).

Demnach ist 2/Wurzel(x) stets grösser 0, aber Wurzel(x)/-8 stets kleiner 0.
Es kann also keine Lösung für diese Gleichung geben.

Und daran ändert sich auch nichts, wenn man die Wurzel durch Multiplikation wegbekommt?

Nach Multiplikation mit "Wurzel x" ist ja keine Wurzel mehr da.
Nach der Multiplikation würde Folgendes rauskommen:

2 = x/-8

Hier dürfte x auch negativ sein. Da die Multiplikation ja eine Äquivalenzumformung ist, müsste das doch eigentlich zulässig sein, oder?

[DaPhreak]

Zitat von Necrolord

Und daran ändert sich auch nichts, wenn man die Wurzel durch Multiplikation wegbekommt?

Nach Multiplikation mit "Wurzel x" ist ja keine Wurzel mehr da.
Nach der Multiplikation würde Folgendes rauskommen:

2 = x/-8

Nein, nicht ganz:

Wurzel(x) * Wurzel(x) = Wurzel(x²), aber
Wurzel(x²) ist nicht gleich x sondern |x|. Damit steht |x|=-16 und das ist ein Widerspruch. ;-)

[Necrolord]

Zitat von DaPhreak

Nein, nicht ganz:

Wurzel(x) * Wurzel(x) = Wurzel(x²), aber
Wurzel(x²) ist nicht gleich x sondern |x|. Damit steht |x|=-16 und das ist ein Widerspruch. ;-)

Alles klar, jetzt hab ich es.
Vielen Dank euch Beiden.

[wullxz]

Ich hätte dazu auch noch eine Frage:
Quadrieren ist doch eine Äquivalenzumformung, wenn man's auf beiden Seiten macht. Das Problem hier ist doch, dass die Gleichung eine leere Lösungsmenge hat, oder?

[DaPhreak]

Zitat von wullxz

Quadrieren ist doch eine Äquivalenzumformung, wenn man's auf beiden Seiten macht.

Nein, ist es nicht.

Eine Umformung überführt eine Gleichung (A) in eine Gleichung (B). Wir nennen eine Umformung Äquivalenzumformung falls für beliebige Gleichungen gilt: A ist wahr genau dann wenn B ist wahr.


Beispiel Äquivalenzumformung:
(A) 2x-6 = 0 | +6
(B) 2x = 6 | / 2
(C) x = 3

Beide Umformungen (A=>B und B=>C) sind Äquivalenzumformungen denn (A), (B) und (C) sind wahr genau dann wenn x = 3 ist.

Beispiel Quadrieren:
(A) x = 2 | ()²
(B) x² = 4

Das ist keine Äquivalenzumformung denn (A) ist wahr genau dann wenn x = 2 ist, (B) ist wahr genau dann wenn x = 2 oder x = -2 ist.


Im Allgemeinen vergrößert sich durch das Quadrieren die Lösungsmenge, es entstehen also neue "Schein-Lösungen", die die ursprüngliche Gleichung nicht mehr erfüllen. Deshalb ist bei solchen Umformungen die Probe wichtig.

[wullxz]

Danke für die tolle Erklärung!
Ich sach dir, das wird irgendwann meinen Hals in einer Arbeit retten ^^