[Mathe] Wie rechne ich um? [erledigt, danke :)]

[D_Blade]

Hallo Klammunity,

ich hoffe mal, dass ich hier die richtigen treffe.

Ich habe folgendes Problem:

ich möchte wissen wie man von

Wurzel(-2*i) auf 1-i kommt

oder anders ausgedrückt wie man von

Wurzel(-2* Wurzel(-1)) = 1 - i kommt.

Das Ergebnis ist richtig, da es der Rechner ja so ausspuckt, aber wie errechnet man das ohne techn. Hilfsmittel?

P.S. Es handelt sich um komplexe Zahlen und nicht um reelle Zahlen.

[smailies]

Vllt. hast du was falsch abgeschrieben? Aber Wurzel(2) kann sich in einer solchen Rechnung ja nicht in Wohlgefallen auflösen.

Wurzel (-2*i) = -i*Wurzel(2)

[AndyH]

Zitat von smailies

Vllt. hast du was falsch abgeschrieben? Aber Wurzel(2) kann sich in einer solchen Rechnung ja nicht in Wohlgefallen auflösen.

Wurzel (-2*i) = -i*Wurzel(2)

Wie kommst Du drauf, dass Wurzel(-i) = -i ist?

[smailies]

Wurzel(-2i)=Wurzel(-1)*Wurzel(2)*Wurzel(i)=i*Wurzel(2)*(-1)

So deutlicher?

[AndyH]

Zitat von smailies

Wurzel(-2i)=Wurzel(-1)*Wurzel(2)*Wurzel(i)=i*Wurzel(2)*(-1)

So deutlicher?

Nö

Weil Wurzel(i) auch nicht -1 ist

[ice-breaker]

Also ich erinnere mich dunkel an das 1. Semester Mathe zurück, aber durch einfache Umformungen war das nicht lösbar.
Ich glaube man musste es in die Exponentialform umwandeln und dann ausrechenen, so wie hier: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Wie man das nun aber genau gemacht hatte, daran erinnere ich mich gerade nicht mehr.

[AndyH]

Zitat von ice-breaker

Ich glaube man musste es in die Exponentialform umwandeln und dann ausrechenen

Doch, das geht auch irgendwie anders, aber ich erinnere mich nicht mehr genau.
Wenn ich heut noch Zeit hab, schau ich mal in meinen Unterlagen.

[Pontius]

Wurzel (-2i) = Wurzel (2*e(-i*pi/2)) -> nach z= a+bi = |z| * e(i*phi)
Wurzel (2*e(-i*pi/2))= Wurzel (2)*e(-i*pi/4)

Wenn du dir diese Zahl nun am Einheitskreis anschaust, dann ist es ein Zeiger mit der Länge Wurzel(2) und einem Winkel von -pi/4, was -45° entspricht. Und genau diese Position hat auch 1-i.

1-i = |Wurzel (1² + (-1)²)| * e(i*phi) mit phi = arctan (im(z)/re(z)) = arctan(-1/1) = -45° = -pi/4

ergibt: 1-i = Wurzel(2)*e(-i*pi/4)

Form lässt leider zu wünschen übrig

[D_Blade]

Zitat von Pontius

Wurzel (-2i) = Wurzel (2*e(-i*pi/2)) -> nach z= a+bi = |z| * e(i*phi)
Wurzel (2*e(-i*pi/2))= Wurzel (2)*e(-i*pi/4)

Wenn du dir diese Zahl nun am Einheitskreis anschaust, dann ist es ein Zeiger mit der Länge Wurzel(2) und einem Winkel von -pi/4, was -45° entspricht. Und genau diese Position hat auch 1-i.

1-i = |Wurzel (1² + (-1)²)| * e(i*phi) mit phi = arctan (im(z)/re(z)) = arctan(-1/1) = -45° = -pi/4

ergibt: 1-i = Wurzel(2)*e(-i*pi/4)

Form lässt leider zu wünschen übrig

Danke für die Antwort. Uff, darauf wäre ich im Leben nie gekommen :-/


Edit: ich habe eben per ICQ von meinem (noch ) netten Tutor die Lösung bekommen:



der Inhalt der Klammer ist gleich Wurzel(i)

(darauf wäre ich auch nie im Leben gekommen >.< .... da fängt das Studium schon mal toll an.... :O)

[smailies]

Zitat von AndyH

Nö

Weil Wurzel(i) auch nicht -1 ist

Stimmt, da hatte ich was verwechselt. Tschuldigung!

[ice-breaker]

Zitat von D_Blade

(darauf wäre ich auch nie im Leben gekommen >.< .... da fängt das Studium schon mal toll an.... :O)

ist nicht so schlimm, es wird dir im Studium noch öfter so gehen, dass du auf manche Beweise nicht selbst gekommen wärst

[AndyH]

Jetzt hab ich nachgeschaut
Gibts da evtl. sogar zwei Lösungen 1-i und i-1 ?


Weil:

Über den Quotientenvergleich:

ergeben sich obige Lösungen (a=1 ^ b=-1 oder umgekehrt).

Oder lieg ich da komplett falsch?

[D_Blade]

Ja es gibt 2 Lösungen.

Ursprünglich hieß die Aufgabe:

z²+6z+9+2i = 0

Eigentlich ganz simpel, aber man darf bei unseren Profs keine technischen Hilfsmittel benutzen =(

Daher kam ich am Ende auf:

z = +- Wurzel(-2*i) - 3

Superrechner http://www.wolframalpha.com/ zeigt zwar die Ergebnisse, aber leider nicht den Rechenweg. Aber das hat sich jetzt ja erledigt

Darf ich aber fragen, warum du a + bi eingefügt hast? Die Formel ist mir auch öfters überm Weg gelaufen, hat mir aber nie wirklich geholfen.
Deshalb habe ich bei der obigen Aufgabe lieber in (z+3)²+2i = 0 umgewandelt als es in z= a+bi -Form zu rechnen :-S


Edit:

durch das 1-i und i-1 ergeben sich bei mir nun 4 Lösungen :-S
2 davon sind offentsichtlich falsch. hmmm
danke, ohne diesen Post wäre mir das nie aufgefallen

Edit2:

joa, also doch nicht. Es ergeben sich doch nur die 2 selben Lösungen.
Es macht also keinen Unterschied, wenn man es 1-i oder i-1 betrachtet. Kurios o.O

[Pontius]

(z+3)²+2i = 0
(z+3)² = -2i

Wenn du dann die Wurzel nimmst, kommt ein Betrag heraus!

|z+3| = -2i

Und das ergibt dann +/- (z+3) = Wurzel (-2i). Daher sind beide Ergebnisse auch richtig. Zumal sie im quadratischen eh äquivalent sind: (i-1)² = (-1)²*(1-i)²=(1-i)² Und durch das +/- ergeben sich damit auch nur 2 statt 4 Lösungen der Gleichung.

Auch die Primfaktorzerlegung wäre eine praktikable Möglichkeit: http://www.wolframalpha.com/input/?i...2B9%2B2i+%3D+0

[AndyH]

Zitat von D_Blade

Darf ich aber fragen, warum du a + bi eingefügt hast? Die Formel ist mir auch öfters überm Weg gelaufen, hat mir aber nie wirklich geholfen.

Die Wurzel aus einer komplexen Zahl gibt wieder eine komplexe Zahl. Allgemein also a+bi
Mit dem Ansatz kann man ganz allgemein die Wurzel aus einer komplexen Zahl berechnen:
Wurzel(x+yi) = a+bi
...
x=(a^2-b^2) ^ y= 2ab
Daraus lässt sich a und b bestimmen und man hat die Lösung.