[Mathe] Vektor Ebene bestimmen

[flaschenkind]

Brauch mal eure Hilfe, ich habe hier eine Mathe-Aufgabe bei der ich überhaupt keinen Ansatz habe, wie ich da rangehen soll

Die Ebene E geht durch S(4|-2|1) und ist orthogonal zur Geraden g: Vektor x = (3/-3/12) + t * (3/-1/5). Stellen Sie die Parametergleichung der Ebene E auf.

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Im Grunde brauch ich ja 2 Punkte, die orthogonal zum Richtungsvektor von g und in der Ebene sind um die Ebene aufspannen zu können. Aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich die finden kann. Die Lösung im Lösungsbuch hilft mir da auch nicht wirklich weiter.

(1/3/0) und (0/5/1)

Die Lösung wird gezeigt, indem das Skalarprodukt aus den angegebenen Vektoren mit dem Richtungsvektor gebildet wird. Aber Wie kommt man auf den ersten Vektor?
Habe überlegt einen Vektor x zu definieren und dann damit das Skalarprodukt zu definieren, aber damit komme ich auch nciht wirklich weiter.

3x1 - x2 + 5x3 = 0

Aber da bräuchte man ja noch eine zweite Gleichung um ein LGS aufstellen zu können und dann wär ich mir auch nichtmal sicher, ob das irgendwie zum Ziel führt.

Ich blick da nicht durch

[smailies]

Mach doch den Ansatz
3x1-x2+5x2=d und dann Punktprobe für den Punkt S. Dann hast Du die Gleichung in Koordinatenform.

Dann umstellen:

1. z.B. auflösen nach x2 und
2. x1 = s und x3=t setzen.

Das liefert Dir die drei Gleichungen die du für eine Parameterform brauchst.

[flaschenkind]

Okay super, danke das hat geholfen
Soweit gedacht hab ich gar nicht, dass ich erst die Koordinatenform aufstelle und dann in die Parameterofrm umwandel. Das wär nämlich Aufgabe b) gewesen, die Koordinatenform zu bestimmen. In dem Lösungsbuch haben die wohl einen anderne Lösungsweg gehabt, aber es gibt ja immer mehr als einen Weg

[smailies]

Ich hatte mir den gegebenen Lösungsansatz nicht so genau angeschaut. Die stellen in der Lösung zwei möglichst einfache Vektoren auf, deren Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden 0 ergibt. Also (3/-1/5) und (1/3/0), weil das Skalarprodukt dann 1*3+(-1)*3+5*0=0 ist und somit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Der Aufpunkt S ergänzt die ganze Sache zur Parameterform.

[flaschenkind]

Gibt es denn eine Möglichkeit, diese Punkte einfach zu finden? oder ist da ausprobieren gefragt?

[sklemm]

Kann es sein, dass du mit Punkte die Vektoren meinst, die die Ebene aufspannen? Wenn ja: Nein, die Zerlegung ist nicht eindeutig, daher gibt es auch keinen festen Lösungsweg. Wenn man sich mal so'ne Ebene anschaut kann man da ja beliebig viele Vektoren reinlegen, die sie aufspannen, solange sie nur linear unabhängig sind. Deshalb kannst du dir nach gutdünken zwei aussuchen.

HTH

[DaPhreak]

Habt ihr die Hessesche Normalform einer Ebene behandelt? Wenn ja, das wäre der klassische Anwendungsfall für eben genau diese, den da brauchst Du nur einen Punkt in der Ebene und den Normalenvektor, also einen der senkrecht auf der Ebene steht.

[flaschenkind]

Zitat von DaPhreak

Habt ihr die Hessesche Normalform einer Ebene behandelt?

Ne haben wir nicht. Kann aber sein, dass wir das übersprungen haben. Wir haben zu dem Thema nur Kopien aus einem anderen Buch bekommen und da fehlen zwischendrin so 10 Seiten. Kann gut sein, dass das dort behandelt wurde.

Zitat von sklemm

Kann es sein, dass du mit Punkte die Vektoren meinst, die die Ebene aufspannen?

Jo meinte ich.