Ungleichung mit Betrag

[gamemammut]

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

|x²-5x+6|>=4

Um die "kritischen Punkte" (wie es unser Lehrer genannt hat) zu finden habe ich folgendes gemacht:

Ich hab die Gleichung gleich 0 gesetzt x²-5x+6=0
Hier habe ich für x zwei Lösungen, nämlich x1=2 und x2=3

Nun habe ich drei Fallunterscheidungen aufgestellt:

1. x<2 2. 2<x<3 3. x>3

Jetzt komme ich aber leider nicht weiter, wir sollen jetzt eine Lösungsmenge für die einzelnen Fälle angeben und dann eine "Gesamtlösungsmenge"

Wie gehe ich weiter vor?

Kann mir jemand helfen?

[AndyH]

Jetzt musst du überlegen, in welchem der 3 Bereiche deine Quadratische Gleichung <0 bzw >0 ist, Dann kannst du die Betragsstriche entsprechend auflösen.

[Benutzer-2472]

Wenn du die drei Intervalle aufgestellt hast, machst du am besten eine Vorzeichentabelle. (Entspricht dem Beitrag von AndyH)

////	- unendlich	2	3	+ unendlich
Term		0	0

Nun gehst du in die Intervalle (-unendlich,2) [2,3) und [3, -unendlich)

Setz eine beliebige Zahl aus dem Intervall ein und bestimme das Vorzeichen des Terms. Z.b. für das erste Intervall eine 0 einsetzen (liegt ja im Intervall), das ergibt ein positives Vorzeichen.

Mach das für alle drei Intervalle und dann kannst du dir die drei Ungleichungen aufschreiben. Je nachdem ob das Vorzeichen dort positiv oder negativ erscheint musst den den Betrag entsprechend auflösen.

Du erhältst dann 3 Ungleichungen, welche du jeweils nach X auflösen musst. Im Anschluss wird jedes X als Intervall geschrieben.
Z.b. wenn du bei der ersten Ungleichung am Ende rausbekommst x<= -1 ergibt das ein Intervall von (-unendlich, -1]. Dieses schneidest du nun mit dem originalen Intervall, suchst also die Schnittmenge von Ergebnisintervall und "Definitionsbereich". (Deine Lösungsmengen)

Am Ende hast du dann 3 Schnittmengen und vereinst die miteinander. (Deine Gesamtlösungsmenge)

[marac]

Die Schule ist zwar schon eine Weile her, aber ich frage mich dennoch, warum du die Nullstellen des Terms suchst.
Ich wäre das Problem wohl eher angegangen, indem ich die x suche, für die die linke Seite (ohne Betrag) eben +4 oder -4 ergibt.

Damit bekomme ich (bis zu) vier Werte für x, und nachdem der Inhalt des Betrags ja eine hundsgewöhnliche Parabel ist, wäre die Bedeutung dieser x-Werte klar (kann man sich ja grafisch ganz gut vorstellen):

bei keinem x ist die Lösungsmenge (-unendlich;+unendlich) (die Parabel liegt komplett oberhalb der +4-Linie oder unterhalb der -4-Linie)

bei einem x ebenso (dann hat eben die Parabel ihren Scheitelpunkt auf der -4 oder +4-Linie und geht von da aus in Richtung + oder - unendlich)

bei 2 x ist die Lösungsmenge (-unendlich;x1], [x2;+unendlich) (die Parabel schneidet nur die -4 oder nur die +4-Linie)

bei 3 x ist die Lösungsmenge (-unendlich;x1], [x2], [x3;+unendlich) (die Parabel schneidet nur die -4 oder nur die +4-Linie und berührt die andere)

bei 4 x ist die Lösungsmenge (-unendlich;x1], [x2;x3], [x4;+unendlich) (die Parabel schneidet sowohl die -4 als auch die +4-Linie)

Spricht etwas gegen diese Vorgehensweise?

[DaPhreak]

Kleine Variante zu Cybos Lösung: Da du die Nullstellen bestimmt hast, kannst Du das quadratische Polynom schreiben als (x-2)(x-3), damit bekommst Du:

|(x-2)(x-3)| ≥ 4

Wie hilft das? Folgende Überlegung:

Für x < 2 ist (x-2) negativ und (x-3) negativ, das Produkt also positiv, die Betragsstriche fallen weg.
Für x > 3 ist (x-3) positiv und (x-2) auch, das Produkt also wieder positiv, gleicher Fall wie eben.
Für 2 < x < 3 bekommst Du einen positiven, einen negativen, damit kehrt der Betragsstrich das Vorzeichen um.

Insgesamt brauchst Du also nur 2 Fälle:

(x ≤ 2) oder (x ≥ 3): Löse (x-2)(x-3) ≥ 4
2 < x < 3: Löse -(x-2)(x-3) ≥ 4


Um noch mehr zu sparen eignet sich die Methode des scharfen Hinsehens. Die zeigt, dass das mittlere Intervall nicht betrachtet werden muss.

Spoiler ... Warum?

Im mittleren Intervall ist die Parabel nach unten geöffnet, wegen des Minuszeichens vorm quadratischen Term. Damit ist der Scheitelpunkt ein Maximum. Die Nullstellen sind bereits bestimmt, der Scheitelpunkt liegt immer in deren Mitte, also bei 2,5. Damit gilt im Intervall 2<x<3: -(x-2)(x-3) ≤ -(2,5-2)(3,5-5) = -(-1/2)*1/2) = 1/4. Damit ist in dem Bereich -(x-2)(x-3) ≤ 1/4 und somit niemals ≥ 4.

[gamemammut]

Ich hab für x<=2

jetzt wieder zwei Nullsten: x1=4,562 und x2=0,438

Ausgegangen von x²-5x+2>=0

für x>=3 hab ich x1=1,531 und x2=-6,5311

ausgegangen von x²+5x-10<=0

irgendwie stimmt doch da was nicht...

[DaPhreak]

Zitat von gamemammut

Ich hab für x<=2

jetzt wieder zwei Nullsten: x1=4,562 und x2=0,438

Ausgegangen von x²-5x+2>=0

Das passt. Du bekommst (5 ± √17)/2 und das sind die Werte die Du da hast.

Zitat von gamemammut

für x>=3 hab ich x1=1,531 und x2=-6,5311

ausgegangen von x²+5x-10<=0

Das stimmt nicht. In dem Fall ist das innere des Betrags positiv, also kein Vorzeichenumkehr. Das passiert nur für 2<x<3.


Grafisch:

Im mittleren Intervall wird's nix, aber im äußeren gibt's halt die zwei Lösungen.


Falls ganze Lösungen rauskommen sollten ist die Aufgabenstellung falsch.

|x²-5x+2| ≥ 6 oder |x²-5x+2| ≥ 2 hätte beispielsweise ganzzahlige Lösungen geliefert...

[gamemammut]

Alles klar.

Da ich ja den Fall x<=2 festgelegt habe und x1=4,562 bzw x2=0,43844 habe, fällt x1 weg, da das ja größer als zwei ist.

Bei dem Fall x>=3 fällt x2=0,43844 weg, da x2 ja kleiner als 3.

Für den Fall 2<x<3 würde ich ja für x1=1,531 und x2=-6,5311 rausbekommen, da diese aber nicht im Intervall liegen fallen beide weg.

Wie schreibe ich da jetzt die Gesamtlösungsmenge?

EDIT: Die Aufgabenstellung ist schon richtig so, habe mich auch zuerst über die ungeraden Zahlen gewundert.

[DaPhreak]

Soweit richtig.

Zitat von gamemammut

Wie schreibe ich da jetzt die Gesamtlösungsmenge?

Du musst Dir jetzt die Intervalle überlegen. Bisher hast Du eine Fallunterscheidung in drei Fälle gemacht und jeweils |x²-5x+6|=4 gelöst, also den Fall gesucht wo das Polynom gleich dem Wert 4 ist. Nun musst Du dich fragen, wann ist es ≥?

Beispielsweise für x ≥ 3: Du hast den Schnittpunkt 4,562, heißt das nun x ≥ 4,562 oder x ≤ 4,562 für Deine Ungleichung? Je nach Ergebnis Deiner Überlegung bekommst Du dann pro Intervall eine neue Bedingung. Die Lösung ist in jedem Intervall die Schnittmenge, also die Menge aller Punkte im Intervall, die die Bedingung erfüllen. Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung aller Lösungen der drei Intervalle.

Kann dann beispielsweise so aufgeschrieben werden:

L = {x | x<a oder b<x<c oder x>d}

oder so:

L = {x | x Element (-∞,a] v [b,c] v [d,∞)}

... sowas in der Art halt.

[gamemammut]

Jetzt hab ich es, denk ich.

L=]0,43844;4,562[

Werde wohl noch ein paar Aufgaben selbst erstellen müssen.

Ich weiß nicht wie weit unser Lehrer hier noch gehen wird, aber was mache ich, wenn auf beiden Seiten ein Betrag stehen würde?
Wie würde ich da vorgehen müssen?

[DaPhreak]

Zitat von gamemammut

Ich weiß nicht wie weit unser Lehrer hier noch gehen wird, aber was mache ich, wenn auf beiden Seiten ein Betrag stehen würde?
Wie würde ich da vorgehen müssen?

Solange da nur 'ne Zahl steht ist das ja egal, denn |4|=4

Interessant sind Beträge die x enthalten. Die allgemeine Regel ist, dass jeder Betrag für sich eine Fallunterscheidung braucht. Bei einem Betrag gibt es 2 Fälle (Argument positiv/negativ), bei zwei Beträgen sind es dann halt schon 4 Fälle.

[gamemammut]

Hab ja auch gemeint, wenn auf beiden Seiten was mit x steht.

Hast du vielleicht Lust mal sowas vorzurechnen?

[DaPhreak]

Zitat von gamemammut

Hast du vielleicht Lust mal sowas vorzurechnen?

Das scheitert hauptsächlich an einem guten Beispiel.

Ich improvisier mal:

|x-2|+|2x+4|<|3x-9|

Drei Beträge, jeder bekommt seine Fallunterscheidung:
x<2 vs. x≥2 für den ersten
x<-2 vs. x≥-2 für den zweiten
x<3 vs. x≥3 für den dritten

Aus den Schnittmengen der drei ergeben sich vier Intervalle:
(-∞,-2): -x+2-2x-4<-3x+9
[-2,2): -x+2+2x+4<-3x+9
[2,3): x-2+2x+4<-3x+9
[3,∞): x-2+2x+4<3x-9

Jeweils lösen und schaun ob es Lösungen im betreffenden Intervall gibt.

[gamemammut]

1. (-∞,-2): -x+2-2x-4<-3x+9
2. [-2,2): -x+2+2x+4<-3x+9
3. [2,3): x-2+2x+4<-3x+9
4. [3,∞): x-2+2x+4<3x-9

EDIT: Muss nochmal nachrechnen