Mathe Teilungsverhältnis von Vektoren

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ID: 374854
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26 Juni 2007
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Guten Abend,

ich hocke gerade vor der Berechnung des Teilungsverhältnis und komme einfach nicht weiter.

Ich schreibe einfach mal die Aufgabe auf:

Der Punkt T liegt auf der Gerade druch A und B. In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB?

A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

Ich kann mich dunkel daran erinnern, dass ich nun die Vektoren AT und TB aufstellen muss? Die dürften dann folgende Maßen lauten:

AT = (1|1|1) + a(1|3|4)
TB = (2|4|5) + b(3|9|12)

Ist es soweit richtig?

Nun frage ich mich wie ich weiter machen soll. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße
 
Tab schrieb:
Der Punkt T liegt auf der Gerade druch A und B. In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB?

A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

Ich kann mich dunkel daran erinnern, dass ich nun die Vektoren AT und TB aufstellen muss? Die dürften dann folgende Maßen lauten:

AT = (1|1|1) + a(1|3|4)
TB = (2|4|5) + b(3|9|12)

Ist es soweit richtig?

Nun frage ich mich wie ich weiter machen soll. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße
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AT=t*TB dann ist t Teilverhältnis von T bezüglich der Strecke AB.

Also rechnest du jetzt deine beiden Vektoren aus (AT und TB) und suchst dann den Faktor t.

Ergänzung: Sollte es keinen Faktor t geben, der für alle drei Zeilen gilt, so liegt T nicht auf AB.
 
Leider verstehe ich es noch nicht so ganz. Weshalb muss ich mit t multiplizieren?

Sind denn meine ausgerechneten Vektoren At und TB richtig?

Vielen Dank.
 
A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

AT =(1|3|4) (=Vektor von A nach T)
TB =(3|9|12)


So, und Zahl t mit AT = t*TB nennt man das Teilverhältnis von T bezüglich AB. Ist halt so definiert.
 
Tab schrieb:
Leider verstehe ich es noch nicht so ganz.
Zum Vergrößern anklicken....

Anschaulich an ein paar Beispielen:

:arrow: T teilt AB im Verhältnis 1:1, wenn die zwei entstehenden Teilstücke gleichlang sind, 1 zu 1 halt. Also t=1/1 = 1, wenn AT=TB.

:arrow: T teilt AB im Verhältnis 4:1, wenn das erste entstehende Teilstück viermal länger ist als das zweite entstehende Teilstück, 4 zu 1 halt. Also t=4/1 = 4, wenn AT=4*TB.

:arrow: T teilt AB im Verhältnis 1:2, wenn das zweite entstehende Teilstück doppelt so lang ist wie das erste, 1 zu 2 halt. Also t=1/2 = 0.5, wenn 2*AT=TB oder AT = 0.5*TB.


und so lässt sich das beliebig fortsetzen, am Ende hast Du immer AT = t*TB.
 
Da T auf AB liegt kann man es z.B. darstellen als

T = A + x*(BA), wobei x zwischen 0 und 1 ist und BA der Vektor von A nach B ist, also B-A.

Dann ist die Strecke AT nichts anderes als x*(BA).
Ebenso ist TB nichts anderes als (1-x)*(BA).

Da aber AT = t*TB sein muss folgt x = (1-x)*t und das darfst Du jetzt selbst nach x lösen... ;)
 
Ich habe nun als Punkt T(2|1|-4) raus, kann das angehen? Würde mich sehr freuen, über eine kurze Überprüfung.

Eigentlich müsste doch beim umkehren wieder für das Verhältnis 0,5 herauskommen?

Demnach nehme ich AT und TB

AT(2|3|-11) TB(4|0|1)

dann habe ich ja folgendes:

2 = 4t
3 = 0t
-11 = 1t

Beim ersten lässt sich erkenen 1/2 aber bei den anderen eben nicht? Woher weiß ich nun welcher das richte Verhältnis ist?

Liebe Grüße
 
Zuletzt bearbeitet:
Tab schrieb:
3 = 0t
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Unwahrscheinlich...
0 mal irgendwas ist einfach nicht 3...

Dein T stimmt also nicht. Probiere es doch nochmal mit dem Ansatz von DaPhreak und schreib uns im Zweifelsfall mal deinen Weg, dann können wir dir auch sagen, wo dein Fehler liegt...
 
Da musst Du Dich verrechnet haben. Nach der von mir beschriebenen Methode komme ich auf x = t/(1+t) = 1/3 und damit auf T = [2,-1,3].

Damit ist AT = [2,1,-4] und TB = [4,2,-8], also AT = 0.5*TB, wie sich das gehört...
 
Die 1/3 hast du mit welchem Wert multipliziert?

EDIT. habs vielen dank!
 
Zuletzt bearbeitet:
Man kann die Aufgabe auch ganz formal lösen, indem man die Gleichung TA = t*TB einfach nach T auflöst.

Entschuldige meine schlampige Paint-Rechnung, aber vielleicht kannst du es dennoch lesen und es hilft dir. T(2/-1/3) müsste aber der richtige Punkt sein.

 
Vielen Dank für die Mühe. Habe das Verfahren verstanden, leider kam es in der Klausur nicht vor. Ist doch meistens so :-D

Liebe Grüße,
Tab
 
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