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Alt 02.05.2010, 19:28:43   #1 (permalink)
Tab
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Lose-Remote

Reg: 26.06.2007
Beiträge: 910
Standard Teilungsverhältnis von Vektoren

Guten Abend,

ich hocke gerade vor der Berechnung des Teilungsverhältnis und komme einfach nicht weiter.

Ich schreibe einfach mal die Aufgabe auf:

Der Punkt T liegt auf der Gerade druch A und B. In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB?

A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

Ich kann mich dunkel daran erinnern, dass ich nun die Vektoren AT und TB aufstellen muss? Die dürften dann folgende Maßen lauten:

AT = (1|1|1) + a(1|3|4)
TB = (2|4|5) + b(3|9|12)

Ist es soweit richtig?

Nun frage ich mich wie ich weiter machen soll. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße

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Alt 02.05.2010, 19:51:54   #2 (permalink)
Cevimmer
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Reg: 30.01.2009
Beiträge: 2.820
Standard

Zitat:
Zitat von Tab Beitrag anzeigen
Der Punkt T liegt auf der Gerade druch A und B. In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB?

A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

Ich kann mich dunkel daran erinnern, dass ich nun die Vektoren AT und TB aufstellen muss? Die dürften dann folgende Maßen lauten:

AT = (1|1|1) + a(1|3|4)
TB = (2|4|5) + b(3|9|12)

Ist es soweit richtig?

Nun frage ich mich wie ich weiter machen soll. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße
AT=t*TB dann ist t Teilverhältnis von T bezüglich der Strecke AB.

Also rechnest du jetzt deine beiden Vektoren aus (AT und TB) und suchst dann den Faktor t.

Ergänzung: Sollte es keinen Faktor t geben, der für alle drei Zeilen gilt, so liegt T nicht auf AB.
smailies ist gerade online   Mit Zitat antworten
Alt 02.05.2010, 20:20:08   #3 (permalink)
Tab
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ID: 374854
Lose-Remote

Reg: 26.06.2007
Beiträge: 910
Standard

Leider verstehe ich es noch nicht so ganz. Weshalb muss ich mit t multiplizieren?

Sind denn meine ausgerechneten Vektoren At und TB richtig?

Vielen Dank.

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Alt 02.05.2010, 20:50:47   #4 (permalink)
Cevimmer
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ID: 335330
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Reg: 30.01.2009
Beiträge: 2.820
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A(1|1|1) T(2|4|5) B(5|13|17)

AT =(1|3|4) (=Vektor von A nach T)
TB =(3|9|12)


So, und Zahl t mit AT = t*TB nennt man das Teilverhältnis von T bezüglich AB. Ist halt so definiert.
smailies ist gerade online   Mit Zitat antworten
Alt 03.05.2010, 09:44:36   #5 (permalink)
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Beiträge: 2.191
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Zitat:
Zitat von Tab Beitrag anzeigen
Leider verstehe ich es noch nicht so ganz.
Anschaulich an ein paar Beispielen:

T teilt AB im Verhältnis 1:1, wenn die zwei entstehenden Teilstücke gleichlang sind, 1 zu 1 halt. Also t=1/1 = 1, wenn AT=TB.

T teilt AB im Verhältnis 4:1, wenn das erste entstehende Teilstück viermal länger ist als das zweite entstehende Teilstück, 4 zu 1 halt. Also t=4/1 = 4, wenn AT=4*TB.

T teilt AB im Verhältnis 1:2, wenn das zweite entstehende Teilstück doppelt so lang ist wie das erste, 1 zu 2 halt. Also t=1/2 = 0.5, wenn 2*AT=TB oder AT = 0.5*TB.


und so lässt sich das beliebig fortsetzen, am Ende hast Du immer AT = t*TB.
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Alt 03.05.2010, 13:20:00   #6 (permalink)
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Reg: 26.06.2007
Beiträge: 910
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Ich glaube ich habs verstanden. AHbe aber noch folgendes Problem:

Zitat:
Berechnen Sie den Teilungspunkt! A(0|-2|7) B(6|1|-5) t=0,5
Wie berechne ich denn sowas?

Liebe Grüße und vielen Dank.

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Alt 03.05.2010, 14:00:05   #7 (permalink)
Primus inter pares
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Da T auf AB liegt kann man es z.B. darstellen als

T = A + x*(BA), wobei x zwischen 0 und 1 ist und BA der Vektor von A nach B ist, also B-A.

Dann ist die Strecke AT nichts anderes als x*(BA).
Ebenso ist TB nichts anderes als (1-x)*(BA).

Da aber AT = t*TB sein muss folgt x = (1-x)*t und das darfst Du jetzt selbst nach x lösen...
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Alt 03.05.2010, 16:27:44   #8 (permalink)
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Ich habe nun als Punkt T(2|1|-4) raus, kann das angehen? Würde mich sehr freuen, über eine kurze Überprüfung.

Eigentlich müsste doch beim umkehren wieder für das Verhältnis 0,5 herauskommen?

Demnach nehme ich AT und TB

AT(2|3|-11) TB(4|0|1)

dann habe ich ja folgendes:

2 = 4t
3 = 0t
-11 = 1t

Beim ersten lässt sich erkenen 1/2 aber bei den anderen eben nicht? Woher weiß ich nun welcher das richte Verhältnis ist?

Liebe Grüße


Geändert von Tab (03.05.2010 um 16:40:54 Uhr)
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Alt 03.05.2010, 16:54:09   #9 (permalink)
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Zitat:
Zitat von Tab Beitrag anzeigen
3 = 0t
Unwahrscheinlich...
0 mal irgendwas ist einfach nicht 3...

Dein T stimmt also nicht. Probiere es doch nochmal mit dem Ansatz von DaPhreak und schreib uns im Zweifelsfall mal deinen Weg, dann können wir dir auch sagen, wo dein Fehler liegt...
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marac ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.05.2010, 16:59:57   #10 (permalink)
Primus inter pares
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ID: 30143
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Reg: 08.05.2006
Beiträge: 2.191
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Da musst Du Dich verrechnet haben. Nach der von mir beschriebenen Methode komme ich auf x = t/(1+t) = 1/3 und damit auf T = [2,-1,3].

Damit ist AT = [2,1,-4] und TB = [4,2,-8], also AT = 0.5*TB, wie sich das gehört...
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Alt 03.05.2010, 17:06:35   #11 (permalink)
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ID: 374854
Lose-Remote

Reg: 26.06.2007
Beiträge: 910
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Die 1/3 hast du mit welchem Wert multipliziert?

EDIT. habs vielen dank!


Geändert von Tab (03.05.2010 um 17:11:47 Uhr)
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Alt 05.05.2010, 13:00:41   #12 (permalink)
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Benutzerbild von Turuf

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Reg: 26.12.2009
Beiträge: 1.696
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Man kann die Aufgabe auch ganz formal lösen, indem man die Gleichung TA = t*TB einfach nach T auflöst.

Entschuldige meine schlampige Paint-Rechnung, aber vielleicht kannst du es dennoch lesen und es hilft dir. T(2/-1/3) müsste aber der richtige Punkt sein.

 
Turuf ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 06.05.2010, 13:59:46   #13 (permalink)
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ID: 374854
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Reg: 26.06.2007
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Vielen Dank für die Mühe. Habe das Verfahren verstanden, leider kam es in der Klausur nicht vor. Ist doch meistens so :-D

Liebe Grüße,
Tab

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