[Mathe] Stochastik - Normalverteilung

[D_Blade]

Hallo,

ich habe hier eine eigentlich recht einfache Aufgabe, jedoch stehe ich auf dem Schlauch und komme nicht so ganz voran.

Gegeben sind:

2 Erwartungswerte:

µ1= 500 mit Varianz1 = 100
µ2= 200 mit Varianz2 = 16


Ich soll nun die VarianzGESAMT ausrechnen. Nun weiß ich aber nicht, wie ich es anstellen soll.

Zumindestens habe ich µGESAMT = 700, welches sich aus µ1 + µ2 ergibt. Aber wie ermittel ich daraus die VarianzGESAMT?

Als Hinweis habe ich bloß, dass E(XY) = E(X)*E(Y) bei unabh. Zufallsvariabeln gilt, was mir aber momentan nicht weiterhilft.


Ich hoffe jemand hat einen Plan :-S

[DaPhreak]

Die Aufgabenstellung scheint mir etwas unvollständig, ich rate mal wie sie zu vervollständigen wäre:

Seien X und Y normalverteilte Zufallsvariablen mit E(X)=500, E(Y)=200, VAR(X)=100, VAR(Y)=16. Berechnen Sie die Varianz der Summe, also VAR(X+Y).

Das geht sogar nur dann wenn man Dir verrät, dass X und Y statistisch unabhängig sind (für den Spezialfall der Normalverteilung reicht sogar Unkorreliertheit).

Berechnen musst Du nun also VAR(X+Y). Dazu würde ich folgende allgemeine Regel verwenden: VAR(Z) = E(Z²) - E(Z)². Das mal für X+Y probieren, bisschen umformen, irgendwann hilft Dir dann auch E(X*Y) = E(X)*E(Y) wenn X und Y unabhängig sind.

Spoiler

VAR(X+Y) = E[(X+Y)²] - (E[X+Y])²
= E[X²+Y²+2*X*Y] - (E[X] + E[Y])²
= E[X²] + E[Y²] + 2*E[X*Y] - E[X]² - E[Y]² - 2*E[X]*E[Y]
= E[X²] - E[X]² + E[Y²] - E[Y]² + 2*E[X]*E[Y] - 2*E[X]*E[Y]
= VAR(X) + VAR(Y)
= 116.

Ist übrigens allgemein so: Die Varianz von der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen.

[D_Blade]

Hallo,

ja, die eigentliche Aufgabe ist viel größer, habe sie aber mal aufs Minimum verkürzt.

Danke für deine Antwort, du hast richtig geraten.

Ich habe auch VAR(X) = E(X²) - E(X)² genutzt und folgendermaßen umgeformt:

E(X) * E(X) - E(X)² und dann den Wert 700 eingesetzt und würde für die Varianz quasi 0 bekommen

[DaPhreak]

Zitat von D_Blade

Ich habe auch VAR(X) = E(X²) - E(X)² genutzt und folgendermaßen umgeformt:

E(X) * E(X) - E(X)² und dann den Wert 700 eingesetzt und würde für die Varianz quasi 0 bekommen

Das machste nun bestimmt nie wieder.

Man sieht's halt anschaulich an der Regel E[X*Y] = E[X]*E[Y] die nur dann gilt, wenn X und Y unabhängig sind. Der "Spezialfall" X = Y würde zu E[X²] = E[X]² führen, wenn X von X unabhängig wäre. Das ist natürlich kompletter Unsinn, da X von X linear abhängig ist.

Ich sag's meinen Studenten immer so:
Gleichleistung plus Wechselleistung ist Gesamtleistung.
Gleichleistung ist das was im Gleichwert/Mittelwert steckt, also quadrierter Mittelwert E[X]².
Wechselleistung ist das was in der Schwankung um besagten Mittelwert steckt also Varianz VAR[X].
Gesamtleistung ist die die im gesamten X steckt (wenn man will mittlere (E[.]) Momentanleistung (X²)), also E[X²].
Alles zusammen: E[X²] = E[X]²+VAR[X].