[Mathe] Schnittpunkte zweier e-Funktionen

[Tab]

Guten Abend,

ich sitze gerade an einer Matheaufgabe und habe überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Wobei mir die einzelnen Schritte klar sind, nur nicht wie ich es rechnen kann.

Ich muss die Stammfunktion von f(x) und g(x) erstellen und diese dann Gleichstellen. Nun haben wir das Thema e-Funktionen gerade erst angefangen und ich weiß nun nicht wie ich denn die Funktionen nach dem Gleichstellen lösen kann.

Hier die Aufgaben:

f(x) = e^x
g(x) = (e-1)x+1

Liebe Grüße,
Tab

[beinke]

Also ich würd mit dem GTR die Graphen zeichnen lassen und dann mit *Intersect die Schnittpunkte berechnen.

Warum setzt du nicht f(x)=g(x)

e^x = (e-1)x+1
=> e^x = (e-1)x+1

Erm hast du hier evlt. ein ^ Zeichen vergessen?

[Tab]

So schauen die beiden Funktionen aus. Ich weiß aber nicht, wie ich die gleichgesetzten Funktionen auflösen kann???

Liebe Grüße

e^x = (e-1)x+1

[theHacker]

Logarithmieren. Dann fliegt das böse e weg und du kannst das übliche Spielchen "alle x auf die eine Seite, Rest auf die andere Seite" machen.

log_b(b^x) = x
speziell für b = e: ln(exp(x)) = x

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

[tasi99]

Hallo,
da du ja die Stammfunktionen gleichsetzen willst, solltest du diese erstmal bilden.

Von f(x) ist das natürlich sehr einfach, da diese e^x + C ist.
Bei g(x) ist dies aber auch nicht so schwer. Multiplizierst du aus, lautet g(x) e*x - x +1, wovon die Stammfunktion dann e^x-1/2x^2+x + C ist.

Setzen wir nun gleich:

e^x=e^x-x+1
0=-x+1
x=1

Weiß aber nicht so recht, ob es das ist, was du wirklich haben willst, denn deinem Bild zufolge wirst du wohl eher die Fläche ausrechnen wollen...


Wenn du das machen willst, musst die Funktionen (und nicht die Stammfunktionen) gleichsetzen.

e^x=(e-1)x+1
e^x=e*x-x+1

Tjo und da kommst du mit Logarithmieren nicht weiter, weil du das nur machen darfst, wenn du auf jeder Seite des Gleichheitszeichens nur einen Ausdruck stehen hast. Dass 1 eine Lösung ist, sieht man leicht, jedoch lässt sich die 2. nicht so ohne Weiteres bestimmen.

[Tab]

Ich habe folgende Rechnung erstellt:



Dir Rechnung scheint zu stimmen,da ich nun den einen Schnittpunkt direkt auf der f(x) Achse habe. Doch irgendwie habe ich nun nur einen Wert, woher bekomme ich den Zweiten? Dieser müsste einen x-Wert von 1 haben.

Liebe Grüße,
Tab

[beinke]

@Tab:
Das hat doch Tasi gezeigt oder? Ich füg mal etwas zur Erklärung ein und nachher noch die Berechnung der y-Koordinate.

Hallo,
da du ja die Stammfunktionen gleichsetzen willst, solltest du diese erstmal bilden.

Von f(x) ist das natürlich sehr einfach, da diese e^x + C ist.
Bei g(x) ist dies aber auch nicht so schwer. Multiplizierst du aus, lautet g(x) e*x - x +1, wovon die Stammfunktion dann e^x-1/2x^2+x + C ist.

Setzen wir nun gleich:

e^x=e^x-x+1 | -e^x
0=-x+1 | + x
x=1

x=1 nun einfach in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen:
f(x) = e^x
f(1) = e^1
f(1) ~ 2,71828183

Schnittpunkt bei (1|2,71828183)


Das andere hast du ja schon selbst gezeigt

[Tab]

Aber wieso nimmt man einmal die Stammfunktion zur Berechnung der einen und nur f(x) für den anderen Wert?

[DaPhreak]

Zitat von Tab

Ich muss die Stammfunktion von f(x) und g(x) erstellen und diese dann Gleichstellen.

Sicher? Das ist eigentlich ziemlicher Unsinn, da beide Stammfunktionen unbekannte Integrationskonstanten C₁ und C₂ enthalten und man sie damit eigentlich gar nicht gleichsetzen kann. Wüsste auch nicht was das bringen soll. Zeig doch mal die originale Aufgabenstellung.

Zitat von tasi99

Bei g(x) ist dies aber auch nicht so schwer. Multiplizierst du aus, lautet g(x) e*x - x +1, wovon die Stammfunktion dann e^x-1/2x^2+x + C ist.

Erklärst Du bitte mal warum e*x integriert e^x werden soll? Das ist Unsinn, die Stammfunktion von e*x - x +1 = (e-1)*x + 1 ist 1/2*(e-1)x²+x+C.

Zitat von Tab

Ich habe folgende Rechnung erstellt:

Erklärst Du uns, nach welcher Regel log(e^x-x+1) = log(e*x-x+1) ist? Sorry, das stimmt leider auch nicht.

Zitat von Tab

Dir Rechnung scheint zu stimmen,da ich nun den einen Schnittpunkt direkt auf der f(x) Achse habe.

Sorry, aber das war nur Zufall



f(x) = g(x) lässt sich durch scharfes Hinsehen lösen, man sieht leicht dass x=0 und x=1 Lösungen sind (einfach mal einsetzen) und man kann über Monotonieargumente beweisen, dass es die einzigen sind. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das überhaupt die Frage war, da Du von den Stammfunktionen angefangen hast...

[tasi99]

Zitat von DaPhreak

Erklärst Du bitte mal warum e*x integriert e^x werden soll? Das ist Unsinn, die Stammfunktion von e*x - x +1 = (e-1)*x + 1 ist 1/2*(e-1)x²+x+C.

Stimmt natürlich, hatte mich verguckt. Hatte statt e*x e^x integriert.