[Mathe] Nullstelle berechnen

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Guten Tag,

ich habe gerade ein kleines Problem beim Berechnen der Nullstelle(n). Die GLeichung lautet folgendermaßen:

0 = x^4-x+2

Ich kann hierbei kein x ausklammern bzw. die quadratische Ergänzung anwenden?

Liebe Grüße

[flaschenkind]

Die Funktion hat keine Nullstellen. Link
Ich wüsste grade aber auch nicht, wie ich das ausrechnen würde. Ich habs gerade mal kurz mit dem Newtonschen Näherungsverfahren versucht, hab dadurch aber keine eindeutige Lösung bekommen, was wohl soviel heißt, wie es hat keine Nullstelle

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Würde ich die Gleichung ein bisschen abändern z.B. in 0 = x^4-x-2 dann würde es zwei Nullstellen geben, doch wüsste ich nicht wie ich diese nun berechnen kann.

Liebe Grüße

[smailies]

Meine erster Tipp wäre: Lies mal genau nach, vllt. soll die Lösung ja "nur" mit dem GTR bestimmt werden.
2. Ansatz: Wertetabelle dann - falls möglich - Nullstellensatz von Bolzano. (führt hier nicht zum Erfolg)

3. Ansatz: "Argumentieren" Du bestimmst die Extremstellen (globaler Tiefpunkt mit Ordinate >0 => kein Tiefpunkt)

[Marvek]

Schulische Methoden: Ausklammern oder quadratische Ergänzung hattest Du ja schon vorgeschlagen. Funktion mal plotten und gucken wo und ob überhaupt es Nullstellen gibt (wie von flaschenkind bereits vorgeschlagen) und so dann ggf. auch triviale Lösungen "erraten", dann Polynomdivision.

Höhere Mathematik: Auflösungsverfahren für quartische Gleichungen nach Euler oder Ferrari. Führt in diesem Fall zu 4 komplexen Lösungen, die auch unter dem Link aufgeführt sind den flaschenkind gegeben hat.

[DaPhreak]

War die Gleichung so vorgebeben oder hast Du sie selbst aufgestellt? In letzterem Fall nochmal genau nachprüfen, eventuell hast Du da einen Fehler gemacht.

Ansonsten lassen sich quartische Gleichungen in Spezialfällen schon noch analytisch lösen, es wird nur etwas aufwändig. Siehe dazu quartische Gleichung. Die von dir angegebene Gleichung erlaubt eine solche analytische Lösung, siehe Wolfram alpha:

x₁ = x₂ =
x₃ = x₄ =

Sind natürlich sehr unhandliche Terme und alle komplex, also viel weiter bringt Dich das wohl am Ende auch nicht.

Und: sowas wird normalerweise nicht in der Schulmathematik verlangt...



*edit* Das andere von Dir gepostete Polynom x^4-x-2 hat offensichtlich die Lösung x₀=-1 (durch ausprobieren), dann kannst Du den Linearfaktor (x+1) abspalten und hast ein Polynom dritten Grades übrig. Das hat eine weitere reelle Lösung[*] und dann noch zwei komplexe.
[*]

[Tab]

Vielen Dank für die Antworten. Anscheinend soll ich das Ergebnis dann durch probieren herausbekommen.

Eine kleine Frage habe ich noch:

Wie lautet das Ergbenis aus folgender Polynomdivision so ungefähr.

(8x) : (x^2+3) = 8/x irgendwas?

EDIT: @DaPhreak Ich hoffe, dass sowas nicht erwartet wird. Vielen Dank für die Mühe.

[excessor]

Also ich würd die obige Gleichung umformen. (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4-x+2 . Dann Faktoren vergleichen. Das würde dazu führen dass ich sehe es gibt keine Lösung ausserhalb der komplexen Zahlen. Sind diese verlangt dann halt berechnen. Das wär dann höhere Mathe.

[DaPhreak]

Zitat von excessor

Also ich würd die obige Gleichung umformen. (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4-x+2 . Dann Faktoren vergleichen. Das würde dazu führen dass ich sehe es gibt keine Lösung ausserhalb der komplexen Zahlen.

Interessanter Ansatz, aber sicher, dass das zum Ziel führt?

Ich bekomme dann:

a+b+c+d = 0
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 0
abc+abd+acd+bcd = 1
abcd = 2

Wüsste jetzt aber auf Anhieb nicht, wie man das Gleichungssystem effizient lösen kann, bzw. beweisen kann, dass es keine reellen Nullstellen hat.


Einfacher ist, denke ich, zu beweisen, dass f(x) = x⁴-x+2 nur eine Extremstelle und dass das ein Minimum ist: Ableitung ist f'(x) = 4x³-1, die ist monoton wachsend und null für x₀=1/4^1/3. Nun nur noch zeigen, dass f(x₀) > 0 ist, damit ist f(x)>=f(x₀)>0 für alle (reellen) x und damit nie null.

[wusseler]

x^4=0

Daraus folgt: x01=0

Nun setze gleich: 0=x-2
Daraus folgt: x02=2

Beide Lösungen schließen sich aus, daher gibt es keine Nullstellen. Simpel,. schnell und effizient gelöst

[DaPhreak]

Zitat von wusseler

x^4=0

Daraus folgt: x01=0

Nun setze gleich: 0=x-2
Daraus folgt: x02=2

Beide Lösungen schließen sich aus, daher gibt es keine Nullstellen.

Nene, so einfach geht das nicht. Dazu brauche ich Dein "Verfahren" bloß mal auf das Polynom x²-2x+1 anzuwenden:

x² = 0 x01=0

0 = 2x-1 x02=1/2

keine Lösung?

Hmmm?


x²-2x+1 = (x-1)² x01 = x02 = 1

Nanu?

[excessor]

3 Umformungen und ich komm auf a^2 = - 1/2*d*c*b

Anschauen wie sich die Gleichung für verschiedene a verhält ergibt dass nur dann eine nichtkomplexe Lösung existiert wenn a und eine zweite Variable negativ und die anderen beiden positiv sind. Die beiden negativen Variablen sollen Nullstellen sein. Die Funktion ist aber bei negativen Werten strikt positiv.

[DaPhreak]

Zitat von excessor

3 Umformungen und ich komm auf a^2 = - 1/2*d*c*b

Anschauen wie sich die Gleichung für verschiedene a verhält ergibt dass nur dann eine nichtkomplexe Lösung existiert wenn a und eine zweite Variable negativ und die anderen beiden positiv sind. Die beiden negativen Variablen sollen Nullstellen sein. Die Funktion ist aber bei negativen Werten strikt positiv.

Okay, gar nicht mal übel, interessante Idee. Allerdings beweist das erst mal nur, dass es nicht vier reelle Lösungen geben kann. Es könnte aber immer noch zwei reelle und zwei komplexe Lösungen geben. Wie willst Du das ausschließen?