[Mathe] logistisches Wachstum

[Seth93]

Hallo,

ich finde leider zu logistischem Wachstum recht wenig im Internet und in meinem Schulbuch.
Ich hab hier eine Formel, die aber nicht vollständig ist.

f(x) sei eine Funktion mit logistischem Wachstum.
Dann gilt:
f'(x) = b*f(x)*(c-f(x))
was ich nicht nachvollziehen kann.
Wenn ich z.B.

1:
f(x)=(c*e^(bx))/(a+e^(bx))

ableite, dann bekomme ich doch

1:
f'(x)=(abce^(bx))/((e^(bx)+a)^2)

oder?

Dann hab ich mir noch folgendes notiert:

f'(x)/(f(x)*(c-f(x))

Leider hab ich mir nicht notiert, was ich dann daraus bekomme, vermutlich das b, aber beim Nachrechnen mit Probezahlen ging es auch nicht auf.

Dann hätt ich noch gern gewusst, warum

1:
((t+1)*e^(0,025t))/(64(x+41)(41e^(0,025t)-t-41))

kein logistisches Wachstum ist.
Als Begründung steht da, dass das Wachstum nicht konstant ist.
Kann jemand das genauer erläutern?

[DaPhreak]

Zitat von Seth93

f(x) sei eine Funktion mit logistischem Wachstum.
Dann gilt:
f'(x) = b*f(x)*(c-f(x))
was ich nicht nachvollziehen kann.

Also allgemein zu logistischem Wachstum weiß ich ungefähr noch folgendes:
Wachstum bedeutet im allgemeinen, dass ein bestimmter Anteil der Population eine bestimmte Menge Population nachbildet. Wenn es dabei keine Beschränkung gibt heißt das, dass der Populationsanstieg proportional zur aktuellen Population ist, mit einem Faktor dazwischen der das Wachstum beschreibt. Als Differentialgleichung: f'(t) = K*f(t). Wenn man die löst, kommt man auf ein exponentielles Wachstum f(t) = f(0)*e^K*t.

Logistisches Wachstum ist eine Erweiterung davon, wo ich eine Beschränkung einbaue. Das Wachstum ist beschränkt durch eine Ressource die mit steigender Population immer stärker genutzt wird und das Wachstum proportional mindert. Das kann ich schreiben als C-f(t). Zusammengebaut ergibt sich so die logistische Differentialgleichung zu f'(t) = K*f(t)*(C-f(t)). Löst man die, kommt man auf

f(t) = C*e^K*C*t / (e^K*C*t + a),

wobei a = 1-C/f(0) ist. Im Zähler sieht man noch gut das exponentielle Wachstum, im Nenner den limitierenden Faktor.

Zitat von Seth93

Wenn ich z.B.

ableite, dann bekomme ich doch

oder?

Ja, und? Fragst Du Dich nun, ob das die DGL erfüllt? Da müsstest Du mal einsetzen. Wobei das glaube ich nicht ganz stimmt, weil Du e^bx ansetzt, es müsste aber e^bcx sein, wenn mich nicht alles täuscht.

Zitat von Seth93

Dann hab ich mir noch folgendes notiert:

Leider hab ich mir nicht notiert, was ich dann daraus bekomme, vermutlich das b, aber beim Nachrechnen mit Probezahlen ging es auch nicht auf.

Weiß ich auch nicht, aber im Prinzip müsste da b rauskommen wenn man den richtigen Ansatz wählt, ja.

Zitat von Seth93

Dann hätt ich noch gern gewusst, warum

kein logistisches Wachstum ist.
Als Begründung steht da, dass das Wachstum nicht konstant ist.
Kann jemand das genauer erläutern?

Hm, was ist das jetzt? f(t)? Da kommt überall t und einmal x vor, was ist hier die Variable? Es ist auf jeden Fall kein f(t) der Form

f(t) = C*e^K*C*t / (e^K*C*t + a),

insofern kann es kein logistisches Wachstum sein.
Die Begründung "dass das Wachstum nicht konstant ist" ist trotzdem komisch:
Konstantes (absolutes) Wachstum bedeutet linearer Anstieg.
Konstantes relatives Wachstum würde exponentiellen Anstieg bedeuten.
Logistisches Wachstum ist nicht konstant, im Gegenteil. Die Population folgt einer Sigmoide, das Wachstum steigt also erst und fällt dann wieder.