[Mathe] Leiterberechnung

[guenz55]

Hmmm, ich komme immer auf eine Gleichung 4. Grades. Bekomme zwar die Lösung durch meinen TI raus aber vll. findet jemand eine einfachere Lösung.
Sieht ja eigentlich popelig aus die Aufgabe

[knuppel]

Was soll denn berechnet werden?

Nach Pythagoras:

a²+b²=c² daraus folgt: b²=c²-a²

b=Wurzel(c²-a²)=Wurzel(36-1)=Wurzel(35)=7
EDIT: Hab nicht gesehen, das die 1 .00 nicht bis zur Leiter gehen.

Meine Lösung ist also falsch.

Was hast du denn bisher gerechnet?

[guenz55]

Zitat von knuppel

Was hast du denn bisher gerechnet?

[marac]

Mein Gedanke war gerade, die Leiter als Funktion anzusehen.
Allgemeine Geradengleichung: y = f(x) = mx + t (oder, da x und y belegt sind: b = f(a) = ma + t)
Ich kenne drei Punkte der Gerade:

f(0) = x
f(1) = 1
f(y) = 0

damit ergibt sich für die Gerade:

aus f(0) = x --> t = x
aus f(1) = 1 --> 1 = m + x --> m = 1 - x
aus f(y) = 0 --> 0 = (1-x)y + x --> x + y - xy = 0 --> x + y = xy

Wobei sich das aus deiner Gleichung 1 ja durch Umformung auch ergibt...

Dann hatte ich noch die Idee, durch quadratische Ergänzung was zu holen:

Aus Pythagoras ergibt sich (deine Gleichung 2) x² + y² = 36
Wenn wir hier 2xy ergänzen kommen wir auf
x² + 2xy + y² = 36 + 2xy, was sich ja auch als (x+y)² = 36 + 2xy schreiben lässt.
Durch einsetzen von Gleichung 1 folgt dann (xy)² = 36 + 2 xy
Wenn wir nun xy = z setzen, folgt
z² - 2z - 36 = 0
was sich auflösen lässt zu
z1/2 = (2 +- sqrt(4+144))/2 = (1 +- sqrt(37))
Nachdem sich aus dem Bild ergibt, dass sowohl x als auch y positiv sind, muss also auch xy = z positiv sein, daher ist nur xy = 1 + sqrt(37) ein gültiges Ergebnis.

Lösen wir das nach y auf, bekommen wir
y = (1 + sqrt(37)) / x
eingesetzt in Gleichung 1 erhalten wir

x / y = x² / (1 + sqrt(37)) = x - 1

Und das wiederum lässt sich doch schön umformen:

x² = x(1 + sqrt(37)) - (1 + sqrt(37))
x² - x(1 + sqrt(37)) + (1 + sqrt(37)) = 0

Und das wiederum lässt sich lösen zu:

x1 = 5,878 - was sich mit deiner Lösung deckt
und
x2 = 1,205 - vom Zahlenwert her müsste das y sein, die Begründung fällt mir zu dieser späten Stunde aber nicht ein ;-)

Edit:
Äh, doch, die Begründung ist ganz einfach: Die Leiter ließe sich ja auch so flach anlegen, dass links nur eine geringe Höhe entsteht, dafür der rechte Auflagepunkt der Leiter weit vom 1x1m-Klotz entfernt landet, also quasi eine Punktspiegelung am Ursprung des Koordinatensystems. Damit würden sich x und y genau umkehren. Damit hat die Berechnung natürlich genau zwei Lösungen, nämlich x und y. Welche davon nun welche ist ergibt sich aus der zusätzlichen Vorgabe, dass x > y ist (entnommen aus der Zeichnung), damit bleibt als einzige Lösung x = 5,878 (auch ohne eine Gleichung vierten Grades lösen zu müssen)

[Keks84]

Google kennt auch eine Antwort: http://www.bigbandi.de/dokus/leiter/index.html

Grüße, die Keks

[marac]

Zitat von Keks84

Google kennt auch eine Antwort: http://www.bigbandi.de/dokus/leiter/index.html

Aber auch diese basiert auf einer Gleichung vierten Grades und die Frage des TE war ja, ob man das auch ohne hinbekommt...

[guenz55]

Genau, vielen Dank Marac für den Lösungsweg