[Mathe] Kombinatorik - Wahrscheinlichkeit für ein zweites Ass

[MrToiz]

Hi,

ich hab leichte Verständnisprobleme mit der Lösung zur folgenden Aufgabe. Von der Korrektheit der Lösung gehe ich aber aus, da der Mathe-Prof den Lösungsweg mehrfach zu erklären versucht hat.

Also:
Ein Kartenspiel von 52 Karten wird auf vier Spieler verteilt. Spieler 1 sagt aus:
1) Ich habe ein Ass.
2) Ich habe das Pik-Ass.
Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass er noch mindestens ein zweites Ass auf der Hand hat?

Lösungsweg:
!A soll das Gegenereignis zu A sein
|A| soll die Anzahl an Möglichkeiten für Ereignis A sein.
P_A(B) ist die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung A.
{n\k} soll bedeuten "n über k", also die Anzahl an möglichen Kombinationen

1)
Ereignis A: Der Spieler hat mindestens ein Ass.
Ereignis B: Der Spieler hat genau ein Ass.

PHP-Code:

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:

|A| = {52\13} - {48\13}  // Alle Kombinationen minus Kombinationen für !A     = 4,42e11 |B| = {4\1} * {48\12}    // Jedes der 4 Asse kombiniert mit 12 nicht-Assen     = 2,79e11 P_A(B) = |B| / |A|        = 63% P_A(!B) = 1 - P_A(B)         = 37%

Bei der Aussage "Ich habe ein Ass" beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler noch mindestens ein weiteres Ass auf der Hand hat, 37%.

2)
Ereignis C: Der Spieler hat das Pik-Ass.
Ereignis D: Der Spieler hat nur das Pik-Ass.

PHP-Code:

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:

|C| = {1\1} * {51\12}    // Pik-Ass kombiniert mit 12 beliebigen Karten     = 1,59e11 |D| = {1\1} * {48\12}    // Pik-Ass kombiniert mit 12 nicht-Assen     = 0,70e11 P_C(D) = |D| / |C|        = 44% P_C(!D) = 1 - P_C(D)         = 56%

Bei der Aussage "Ich habe das Pik-Ass" beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler noch mindestens ein weiteres Ass auf der Hand hat, 56%.

Die Rechnung kann ich vollständig nachvollziehen, aber es will einfach nicht in meinen Kopf, dass ich als Spieler 1 durch die Aussage, welche Farbe mein Ass hat, meine Wahrscheinlichkeit auf ein weiteres Ass erhöhe.

Wer kann mir da weiterhelfen?

[DaPhreak]

Zitat von MrToiz

Die Rechnung kann ich vollständig nachvollziehen, aber es will einfach nicht in meinen Kopf, dass ich als Spieler 1 durch die Aussage, welche Farbe mein Ass hat, meine Wahrscheinlichkeit auf ein weiteres Ass erhöhe.

Eine intuitive Erklärung dafür habe ich nicht, vielleicht hat jemand anders ja eine, da bin ich mal gespannt. Ich habe allerdings schon häufiger die Erfahrung gemacht, dass, gerade wenn es um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht, die Lösung häufig der ersten Intuition widerspricht. Ein berühmtes Beispiel dazu ist das Monty-Hall-Problem, daran hat mich die Aufgabe hier gerade entfernt erinnert.

[Rubberduck]

Ich glaube, dein Problem ist, dass die Anzahl der möglichen Blätter jeweils nicht stimmt...
Wenn du den Fall betrachtest, dass der Spieler 13 Karten bekommt, wovon genau 1 Karte ein Ass ist, sähe das ja so aus:

4 (soviele Asse gibt es, die er jeweils 1x haben kann) * 48*47*46*45*44*43*42*41*40*39*38*37 (jeder Multiplikator gibt die jeweilige Möglichkeit der nächsten Karte an - also "48" wäre eine Karte von 48 - die Asse zählen ja nicht!).
So müsste sich meines Erachtens eine andere Wahrscheinlichkeit ergeben...kann mich aber auch täuschen, meine Schulzeit ist etwas her.....



Und deine Schlussfolgerungen in dicker Schrift unter dem Code Kästchen passen nicht zu der Aufgabenstellung...37% ist die Wahrscheinlichkeit nicht höher, dass er mehr als ein Ass hat!

[MrToiz]

Zitat von Rubberduck

Wenn du den Fall betrachtest, dass der Spieler 13 Karten bekommt, wovon genau 1 Karte ein Ass ist, sähe das ja so aus:

4 (soviele Asse gibt es, die er jeweils 1x haben kann) * 48*47*46*45*44*43*42*41*40*39*38*37 (jeder Multiplikator gibt die jeweilige Möglichkeit der nächsten Karte an - also "48" wäre eine Karte von 48 - die Asse zählen ja nicht!).

Nein, das stimmt so leider nicht, weil so auch unterschiedliche Sortierungen derselben Karten als unterschiedliche Möglichkeiten gezählt werden.
Stell dir vor es gäbe außer den 4 Assen nur drei weitere Karten (A, B, C), von denen 2 gezogen werden sollen. Nach deiner Rechnung gäbe es 3*2=6 Möglichkeiten (AB, AC, BC, BA, CA, CB), obwohl davon leicht erkennbar jeweils 2 identisch sind. Die richtige Formel wäre (3*2)/(2*1) bzw. (3!)/(2!*(3-1)!) oder eben die verkürzte Schreibweise "3 über 2".

Zitat von Rubberduck

Und deine Schlussfolgerungen in dicker Schrift unter dem Code Kästchen passen nicht zu der Aufgabenstellung...37% ist die Wahrscheinlichkeit nicht höher, dass er mehr als ein Ass hat!

Leider verstehe ich nicht, was du hiermit meinst...

@DaPhrek: Stimmt, da gibt es mehrere Beispiele für. Wobei man das Ziegenproblem ja noch relativ einfach nachvollziehen kann, wenn man sich einen Baum aufzeichnet.

[DaPhreak]

Zitat von MrToiz

@DaPhrek: Stimmt, da gibt es mehrere Beispiele für. Wobei man das Ziegenproblem ja noch relativ einfach nachvollziehen kann, wenn man sich einen Baum aufzeichnet.

Könntest es ja hier auch mal mit nem Baum versuchen, vielleicht hilfts. Auf jeden Fall 'ne gute Übung fürs Berechnen von verschiedenen Ereignissen.
Könnte mir sowas vorstellen wie:

1) kein Ass
2) mindestens ein Ass
2a) mindestens ein Ass und keins davon ist das Pik-Ass
2b) mindestens ein Ass und eins davon ist das Pik-Ass
2a(i)) genau ein Ass (nicht Pik)
2a(ii)) mehr als ein Ass (keins Pik)
2b(i)) genau ein Ass (Pik)
2b(ii)) mehr als ein Ass (und eins davon Pik)

Weiß nicht obs für die Aufgabe hilft aber vielleicht wird es dann intuitiver wie sich hier die Wahrscheinlichkeiten verteilen...

[MrToiz]

So, habe das jetzt wirklich mal als Baum dargestellt:

Oder direkt die dahintersteckende Excel-Datei.

Ich denke, der Unterschied lässt sich so erklären:
Die Wahrscheinlichkeit in Fall 1 (im Folgenden P1) setzt sich zusammen aus der Wahrscheinlichkeit von Fall 2 (P2) und der, zwar nicht dass Pik-Ass zu besitzen aber trotzdem mindestens 2 (P3).
In diesem 3. Fall habe ich also schon ein Ass auf der Hand und will ein weiteres bekommen, dass aber nicht das Pik-Ass sein darf (sonst wär's ja wieder Fall 2). Ich müsste also unter den 12 anderen Karten eines von 2 übrig gebliebenen Assen haben. Darum muss P3 auf jeden Fall kleiner sein als P2, denn dort sind ja alle drei verbliebenen Asse erlaubt. Folglich muss auch P1 kleiner sein als P2.

Zitat von MrToiz

[...] es will einfach nicht in meinen Kopf, dass ich als Spieler 1 durch die Aussage, welche Farbe mein Ass hat, meine Wahrscheinlichkeit auf ein weiteres Ass erhöhe.

Der Denkfehler hier ist die Nicht-Beachtung der Reihenfolge. In dieser Aufgabe geht es ja nicht darum, dass ich das Pik-Ass ausgeteilt bekomme und auf ein weiteres warte, sondern dass ich schon alle Karten auf der Hand habe. Selbst wenn ich das Pik-Ass als letztes ausgeteilt bekomme, stimmt ja die Aussage, dass ich es besitze.

Ich würd zwar immer noch nicht behaupten, dass ich die Zusammenhänge jetzt vollständig verstehe, aber etwas klarer ist es schon geworden.

[uhu-xxl]

Mir will eines nicht so richtig in den Kopf.

Nachdem wir (Spieler1) feststellen, dass wir ein Ass auf der Hand haben (egal welches), wiso ist die Wahrscheinlichkeit auf ein weiteres Ass nur so wenig.

Wenn ich umgekehrt denke:
Hypothetisch
Die Wahrscheinlichkeit bei einem Weiteren Ass im Deck wäre ca. 3/4 oder 75% es nicht zu bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Weiteren Assen im Deck wäre ca. 9/16 oder 56,25 % eines nicht zu bekommen. Oder 43,75% eines zu bekommen


Und ab da funktioniert das mit dem niedrigen wert schon nicht mehr. Warum dann laut eurer Rechnung doch?