[Mathe] Gleichung lösen

[Seth93]

Hallo,

kann mir bitte jemand helfen, diese Gleichung nach r aufzulösen:

1:
r=((35*r^2-35*6r+35*9)^0,5)/(7)

Bräuchte die einzelnen Schritte, nicht das Ergebnis.

LG

[MrToiz]

Also so schwer ist das doch nun wirklich nicht. Einmal die komplette Gleichung quadrieren, damit du auf der rechten Seite die Wurzel wegkriegst, und schon hast du nur noch eine quadratische Gleichung.
Da bekommst du dann zwei Lösungen raus und musst diese jeweils prüfen, ob sie die Gleichung erfüllen, denn quadrieren ist keine Äquivalenzumformung und führt darum u.U. zu weiteren "Lösungen" (x=-2 hat eine Lösung, x²=(-2)^2=4 hat zwei).

[Seth93]

Sry, das ist wohl der Nachteil wenn man in der Schule mit einem CAS arbeitet.
Ich löse halt immer mit dem Taschrechner die Gleichungen.

Ich versteh leider nicht ganz genau, was ich mit der Quadratischen Gleichung machen soll.



LG

[MrToiz]

Tja man sollte sich halt gar nicht erst angewöhnen, jeden Mist in den TR zu hauen...
Wenn du die Gleichung quadrierst, hast du
r^2=(35*r^2-35*6r+35*9)/49
und das ist eine ganz gewöhnliche, quadratische Gleichung. Um die zu lösen gibts mehrere Möglichkeiten. Quadratische Ergänzung, PQ-Formel (was im Prinzip ja dasselbe ist), ...

[Necronomicon]

CAS befreit dich davon es zu machen, aber nicht davon es zu lernen

Und mit der Quadratischen Gleichung benutzt du dann die PQ-Formel
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung (da unter abc Formel)

[Seth93]

r^2=(35*r^2-35*6r+35*9)/49

p ist in dem Fall -35 und q 35*9, richtig?
Der Radikand ist dann negativ, der Taschenrechner spuckt trotzdem was aus, allerdings mit der Variable i.

35/2 + (35^0,5 * i)/2

Hab ich jetzt was falsch gemacht?


LG

[marac]

Quadrieren ist völlig überflüssig... Wenn man sich den Inhalt der Wurzel einmal anschaut, sollte man erkennen, dass da eine binomische Formel drinsteckt...
Einfach mal die 35 ausklammern...

PHP-Code:

1:

r=((35*(r^2-6r+9))^0,5)/(7)

Dann die binomische Formel in der Klammer "erkennen"

PHP-Code:

1:

r=((35*(r-3)^2)^0,5)/(7)

Der Rest sollte dann kein Problem mehr sein, oder?

[Pontius]

r²=(35r²-35*6r+35*9)/49 |*49

49r²=35r²-35*6r+35*9 | alles auf eine Seite bringen
0 = 14r² + 210r - 315 | den Faktor vor r² auf 1 bringen (also durch 14 dividieren)
0 = r² + 15r - 22,5

Und jetzt ergibt sich p=15 und q=-22,5.

€dit: Bitte pass auf das markierte Minus auf!

[Seth93]

Zitat von marac

Quadrieren ist völlig überflüssig... Wenn man sich den Inhalt der Wurzel einmal anschaut, sollte man erkennen, dass da eine binomische Formel drinsteckt...
Einfach mal die 35 ausklammern...

PHP-Code:

Dann die binomische Formel in der Klammer "erkennen"

PHP-Code:

Der Rest sollte dann kein Problem mehr sein, oder?

Doch leider.
Anfangs war es so, wie du grad geschrieben hast.
Ich hab dann die Klammer dann aufgelöst.

Was kann man denn jetzt mit deiner Gleichung machen?

LG

r²=(35r²-35*6r+35*9)/49 |*49

49r²=35r²-35*6r+35*9 | alles auf eine Seite bringen
0 = 14r² + 210r + 315 | den Faktor vor r² auf 1 bringen (also durch 14 dividieren)
0 = r² + 15r + 22,5

Und jetzt ergibt sich p=15 und q=22,5.

Ach, jetzt versteh ich das erst.

Danke an alle.


Lg

[marac]

Zitat von Seth93

Anfangs war es so, wie du grad geschrieben hast.
Ich hab dann die Klammer dann aufgelöst.

Und warum das?

PHP-Code:

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:

r=((35*(r-3)^2)^0,5)/(7) r=(35^0,5*(r-3)^2^0,5)/(7) r=(35^0,5*(r-3))/(7) 7*r=35^0,5*r-3*35^0,5 3*35^0,5=35^0,5*r-7*r 3*35^0,5=(35^0,5-7)*r r=(3*35^0,5)/(35^0,5-7)

[DaPhreak]

Zitat von marac

Und warum das?

Vorsicht: (x²)^0,5 = |x|, nicht x. Der Betrag ist wichtig sonst verlierst Du möglicherweise 'ne Lösung, da ([-x]²)^0,5 = ([+x]²)^0,5.

[Seth93]

Zitat von marac

Und warum das?

PHP-Code:

Das eben war ja nur ein Beispiel.
Bei der Aufgabenstellung sieht es etwas anders aus:

147r^2 = 1196*(r-384400000)^2

Da ich dein Beispiel nicht ganz verstehe, weiß ich nicht wie ich jetzt mit dem ^2 umgehen soll.
Soll die unbedingt weg?

[Pontius]

Nein, du multiplizierst die Klammer nach der Binomischen Formel aus und wendest dann den Algorithmus an:

1. alles auf eine Seite bringen ( also ax²+bx+c = 0 )
2. Den Faktor vor x² beseitigen
3. p und q bestimmen
4. Lösungsformel anwenden
5. Probe für x1 und x2

[Seth93]

Zitat von Pontius

Nein, du multiplizierst die Klammer nach der Binomischen Formel aus und wendest dann den Algorithmus an:

1. alles auf eine Seite bringen ( also ax²+bx+c = 0 )
2. Den Faktor vor x² beseitigen
3. p und q bestimmen
4. Lösungsformel anwenden
5. Probe für x1 und x2

Das ist aber jetzt nach deiner Variante oder?
Ich wollte Maraxs ntuzen, weil durch das Ausklammern riesige Zahlen entstanden sind.

Aber ich hab s jetzt hinbekommen.
Danke nochmal.


LG

[marac]

Zitat von Seth93

Das eben war ja nur ein Beispiel.
Bei der Aufgabenstellung sieht es etwas anders aus:

147r^2 = 1196*(r-384400000)^2

Wo ist das Problem? Du kannst doch einfach auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, musst dann aber natürlich - wie DaPhreak korrekt angemerkt hat - ein bisschen Fallunterscheidungen machen

PHP-Code:

1:

(147/1196)^0,5 * |r| = |r-384400000|

Nun musst du die Fälle r >= 384400000, 0 <= r < 384400000 und r < 0 unterscheiden... (wobei der Fall r < 0 ja das selbe Ergebnis bringen würde wie r > 384400000, da du dann ja beide Seiten mit -1 multiplizieren müsstest)