[Mathe] Gammafunktion/Taylorreihe

[timo_hildebrand]

Naja ich war ein paar Tage krank und sitze hier gerade vor einem Aufgabenblatt, an dem ich 2 Aufgaben nicht lösen kann.

1)Gammafunktion:


Man soll das durch Substitution zeigen. Ich scheitere gerade vollkommen am Ansatz: Wie kann ich durch eine Substitution die untere Grenze von 0 auf -Unendlich oder umgekehrt setzen?

2)
Taylorreihe. Man soll folgende Funktion f:


Ableiten, indem man erst die Entwicklung der Taylorreihen von g(x) und h(x) betrachtet.
Die taylorreihen g und h für x0=0 habe ich auch soweit berechnet, ich hoffe das stimmt:


Edit: Bei g(x) muss natürlich n! in den Nenner.

Jetzt weiß ich nur nicht, wie ich hiervon auf die ABleitung von f kommen sollte...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen(versucht am besten nur einen Ansatz zu geben, damit ich das ganze nachvollziehen kann.)

[Pontius]

Zumindest zu 2. fällt mir auf die Schnelle die Quotientenregel ein:



Bei der Gammafunktion habe ich nicht wirklich einen Ansatz, nur werden bei einer Substitution natürlich auch die Grenzen geändert:
Denn dabei wird sich ja auch zumeist der Definitonsbereich für die eingesetzte Variable ändern...

€dit: Stümmt - wieder nur mit nem halben Auge hingeschaut. Ist natürlich ein Produkt
Dann fällt auch h² weg und aus dem - wird ein +

[DaPhreak]

*edit3* Grad gesehen ich hab im Exponenten der e-Funktion bei der Gamma-Funktion überall ein Minus vergessen. Mag jetzt aber auch nicht alles neu texen, also einfach dazudenken...

Bei der 1) kann ich Dir helfen:

Wenn Du 1/2 einsetzt, hast Du erstmal.



Jetzt stört das Wurzel(x), deshalb würde ich genau das substituieren:









Wenn Du jetzt das dx in das Integral einsetzt hast Du


Natürlich müssen die Grenzen auch substituiert werden, aber da Wurzel(0)=0 und Wurzel(inf) = inf, ändert sich daran nix.


So weit warst Du möglicherweise schon, es bleibt also wirklich nur zu zeigen, dass


Dazu würde ich einmal das Integral von 0 bis unendlich links und rechts abziehen, dann hast Du noch übrig:


Das ist das was Du eigentlich beweisen musst. Probier mal, ist eigentlich ganz einfach.

Spoiler ... Lösung

Substituiere z=-y, das gibt Dir dz=-dy und damit
wobei im letzten Schritt die Integrationsgrenzen vertauscht wurden.

Kann sein, dass das noch einfacher geht, aber so würde ich es machen.




*edit* Zur zweiten, nur grob die Idee: Ich denke es geht darum, dass man ja f schreiben kann als g*h. Wenn ich jetzt g und h in eine Taylorreihe an der Stelle x₀ = 0 zerlege, dann habe ich

g = g₀ + g₁*x + g₂*x² + ...
h = h₀ + h₁*x + h₂*x² + ...

damit ist g*h = g₀*h₀ + (g₁*h₀+g₀*h₁)*x + (g₂*h₀+g₁*h₁+g₀*h₂)*x²+...

einfach ausmultipliziert. Die Ableitung ist dann

(g*h)' = (g₁*h₀+g₀*h₁) + 2*(g₂*h₀+g₁*h₁+g₀*h₂)*x + ...

Alle Terme mit x, x² usw. fallen aber an der Stelle 0 weg und es bleibt übrig f'(0) = g₁*h₀+g₀*h₁.

Das gilt natürlich nur, wenn es auch wirklich um die Ableitung an der Stelle x₀ = 0 geht. Wenn an einer beliebigen Stelle x₀ abgeleitet werden soll, musst Du auch die Taylorreihen an der Stelle bilden also über (x-x₀), (x-x₀)², usw.

Spoiler ... Lösung

g(x) = 1-a*x + O(x²) g₀ = 1, g₁ = -a.
h(x) = 1/b-1/b²*x + O(x²) h₀ = 1/b, h₁ = -1/b².
f'(0) = g₁*h₀+g₀*h₁ = -a/b - 1/b²

P.S.: Bei Deiner Taylorreihe für g(x) steht gar kein x. Ist sicher nur ein Tippfehler, statt dem "e" muss ein "x" stehen.

*edit2*

Zitat von Pontius

Zumindest zu 2. fällt mir auf die Schnelle die Quotientenregel ein:

Vorsicht, Denkfehler: f ist nicht g/h sondern g*h, da h(x) ja über 1/(b+x) definiert ist. Wäre h(x) = b+x, dann käme man über den Ansatz weiter.

[timo_hildebrand]

Danke für die viele Hilfe
Habe jetzt denke ich alles verstanden