[Mathe] Fläche von zwei Funktionen berechnen

[Tab]

Guten Tag.

ich habe zwei Funktionen:



f1(x) = -x^3+9x und f2(x) = -2x^2

Nun würde ich gerne errechnen wie groß die blau markierte Fläche ist. Leider weiß ich keinen passenden Weg. Ich hätte es folgendermaßen gerechnet:



Die 1-Wurzel(10) ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen. Demnach habe ich beim Integral die Grenzen 0 und 1-Wurzel(10) eingegeben. Das Ergbnis ist dann 6,74FE. Doch das ist falsch. Das richtige Ergebnis muss 8,83FE lauten. DOch weiß ich nicht wie ich das berechnen kann.

Liebe Grüße

EDIT: Habe nun die passende Rechnung:

Integral mit den Grenzen (0|1-Wurzel(10)) (-2x^2-(-x^3+9x)) = 8,83 FE

doch wieso muss ich beide Funktionen voneinader subtrahieren?

[Brownie]

Das kommt darauf an, welche Funktion über welcher "liegt". Mathe ist jetzt 2 Jahre schon her.. nur berechnest du ja mit der einen Funktion die Fläche x und davon musst ja die andere Funktion subtrahieren, damit du die eingegrenze Fläche berechnest.

Das klingt blöd. Deshalb hab ich es nochmal rausgesucht.



Quelle: http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm

[tasi99]

Die Formel, um den Flächeninhalt 2er Funktionen zu ermitteln ist immer "obere Funktion minus untere Funktion". Kannst aber auch immer einfach irgendeine Funktion als "obere Funktion" definieren und Betragsstriche setzen, dann ist es egal, welche die obere Funktion ist.

Zugegebenermaßen nicht gerade schön, aber guck mal, ob dir dieses mit Paint bearbeite Bild hier von mir hilft:



Wenn man sich die x- und y-Achse verschiebt, dann ist das vielleicht etwas einfacher zu verstehen. Interessieren tut dich weiterhin die türkise Fläche. Dies ist die Fläche unter dem schwarzen Graphen minus der Fläche (gelb), die unter dem roten Graphen liegt.

Und genau das rechnest du so mit der Formel.

[DeadMansHorror]

Ein Integral berechnet zunächst einmal die Fläche, die zwischen der Kurve und der 1. Achse (x-Achse) in den gewählten Grenzen liegt.

Hier hast du eine Fläche, die von 2 Kurven eingeschlossen wird.
Diese Fläche liegt in einem Integral von der roten Kurve (mit den Grenzen "minus Wurzel von 10" und "0").

Allerdings umschließt sie nicht den gesamten Bereich, sondern nur den, der nicht auch von dem Integral der blauen Kurve zwischen den beschriebenen Grenzen liegt. Folglich musst du das Integral der roten Kurven von dem der blauen abziehen und da alles im negativen Bereich der 2-Achse ist und somit die Integrale ebenfalls negativ sind.

Ich hoffe, eine der hier geposteten Erklärungen ist für dich verständlich
DeadMansHorror

[Tab]

Vielen Dank für die Antworten. Ich muss mir einfach den Satz die Obere minus die Untere merken. Super :-D

Ich sitze gerade vor einem kleinen Problem. Wahrscheinlich lerne ich schon zu lange und bin einfach zu doof.

Wenn ich INtegral schriftlich rechen muss, benötige ich die Stammfunktion.

Dies ist ja bei der ersten Funktion: -1/4x^4+4,5x^2

Jetzt muss ich nur noch Grenzen einsetzen z.b. 4,16 und 0

Mein Taschenrechner gibt mir dann einen richtigen Wert von 51 FE aus aber wenn ich es schriftlich rechne:

(-1/4*4,16^4+4,5*4,16^2) - (-1/4*0^4+4,5*0^2)

Bekomme ich einen Wert von 3,... raus und nicht den richtigen Wert von 51.

Aber Integral rechnet man doch schriftlich indem man die STammfunktion bildet und die Grenzen einsetzt.?

Liebe Grüße

[tasi99]

Ja, Intergrale rechnest du aus, indem du obere Grenze für x einsetzt und davon dann die untere Grenze für x eingesetzt subtrahierst. Ich denke du hast einfach ein Vorzeichenfehler drin.

Also so sollte es dann aussehen:
[x(^{obere Grenze})] - [x(_{untere Grenze})]


edit:
Wie kommst du auf die 4,16? 1 - [wurzel(10)] sind -~2,16. Glaube dann liegt der Fehler wohl eher dort.

edit2:
Die ~3, die du da rausbekommst, sind aber auf jeden Fall richtig. Vielleicht hast du bei der Eingabe in den Taschenrechner eine Klammer vergessen.

[Tab]

Ich habe es nun mehrmals im Taschenrechner eingegeben, immer der selbe Wert. :-(

[tasi99]

Rechnen musst du
Integral = [f(x)-g(x)] dx = (-2x²) - (-x³+9x) dx
= -2x² + x³ - 9x dx (alternativ natürlich auch die Rechnung mit Betrag möglich, aber wir wissen ja schon, welche Funktion "oben liegt")

Davon musst du nun die Stammfunktion bilden:
-2/3x³ + 0.25x⁴ - 4.5x²

Dort setzt du nun die Grenzen ein, nicht in die Stammfunktion, die du oben angeben hattest.


Machst du das, müsstest du auf Folgendes kommen (habs noch ein wenig sortiert, obere Grenze ist -2.16 und untere ist 0):
[(0.25*(-2.16)⁴) - (2/3(-2.16)³) - (4.5*(-2.16)²]) - [0] =
(0.25*21.7678234) - (2/3*(-10.077696) - (4.5*4.6656) =
5.44195585 + 6.718464 - 20.9952 =
-8.83478015

Da wir wissen, dass die Fläche positiv ist, können wir davon noch den Betrag bilden und kommen auf eine Fläche von ~8.83 FE.



edit:
Habe den Fehler gefunden, hatte mehr als nur ein Brett vorm Kopf.

[DeadMansHorror]

Tab du hast 2 Fehler.

1. Guck dir mal die Wurzel von 10 an. Die ist vieles, aber nicht ~4,16 .

2. Guck nochmal genau, welche Grenzen des Intervalls du hast (Vorzeichenfehler, Stellungsfehler)

[Tab]

Ich danke euch allen ich habe es nun erfolgreich asurechnen können.

Eine letzte Frage hätte ich jedoch noch.

Ich soll den Funktionsterm eines Polynoms dritten grades erstellen. Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprug. Im Punkt (1|0) ist ein wendepunkt und die zugehörige Wendetangente ist parallel zur Gerade 2y+2x-8=0

Ich habe folgende Werte raussuchen können.

P(0|0)
f''(1) = 0 -> der Wendepunkt
f'(1) = -1

Doch irgendwie fehlt ja noch mind. ein Wert?

[Pontius]

Zitat von Tab

Ich danke euch allen ich habe es nun erfolgreich asurechnen können.

Eine letzte Frage hätte ich jedoch noch.

Ich soll den Funktionsterm eines Polynoms dritten grades erstellen. Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprug. Im Punkt (1|0) ist ein wendepunkt und die zugehörige Wendetangente ist parallel zur Gerade 2y+2x-8=0

Ich habe folgende Werte raussuchen können.

P(0|0)
f''(1) = 0 -> der Wendepunkt
f'(1) = -1

Doch irgendwie fehlt ja noch mind. ein Wert?

Wie wäre es mit dem Punkt (1|0)

Lösung sollte y=x³ - 3x²+2x sofern ich mich nicht verrechnet habe...

[Tab]

Woher erkenne ich diesen?

[Pontius]

Zitat von Tab

Woher erkenne ich diesen?

Du schreibst "Im Punkt (1|0) ist ein Wendepunkt" ergo geht die Funktion auch durch diesen Punkt, sonst könnte es ja kein Wendepunkt sein.

[tasi99]

Polynom 3. Grades heißt, dass die Funktion eine solche Form hat:
ax³+bx²+cx+d

Folgendes ist gegeben, was du ja auch schon erkannt hast:
-durch Koordinatenursprung bedeutet: durch Punkt (0/0), also f(0) = 0
damit weißt du direkt, dass d 0 sein muss.
-bei Punkt (1/0) ist ein Wendepunkt. das bedeutet, dass die 2. Ableitung an diesem Punkt 0 sein muss, also f''(1) = 0
-die Gerade y= 4-x' ist parallel zur Wendetangente, die sich durch
t(x) = f(x_Wendepunkt)+f'(x_Wendepunkt) * (x-x_Wendepunkt) bestimmen lässt.

Insgesamt wissen wir nun also:
f(x) = ax³+bx²+cx
f'(x) = 3ax²+2bx+c
f''(x) = 6ax + 2b
f''(1) = 6a1 + 2b = 0 -> b = -3a

t(x) = (a+b+c) + (3a+2b)*(x-1) = a+b+c + (3ax-3a+2bx-2b) = a+b+c+3ax-3a+2bx-2b = 2a-b+c+3ax+2bx = (mit b=-3a) 5a+c+2ax
t'(x) = 2a

y'(x') = -1

Da die Wendetangenete parallel zur Funktion y ist, haben sie die selbe Steigung. Daher folgt:
2a = -1
a = -0.5

Ferner folgt damit aus b = -3a:
b = -3*(-0.5) = 1.5

Spoiler

Das Folgende ist falsch... Hatte die falsche Bedingung, die Bedingung lautet f''(1) = 0, nicht f'(1)=0, darum ist das hier nun falsch...
Lass es jedoch dennoch mal stehen, damit man weiß, wie man dann auf die Funktion zumindest theoretisch käme..


f'(x) war 3ax²+2bx+c und wir hatten die Bedingung, dass f'(1) = 0 sein muss. Damit folgt aus allem eingesetzt:
-1.5+3+c=0
c=-1.5


Damit kann man nun die komplette Funktion angeben:
f(x) = -0.5x³+1.5x²-1.5x (+0)
oder aber schöner:
f(x) = x³-3x²+3x

edit:
Was Pontius schreibt, ist natürlich richtig, dass man einfach auch noch den Wendepunkt als normalen Punkt benutzen kann und muss.

Oh Mann, heute ist nicht mein Tag. Habe mich verguckt und es geht nur über den von Pontius beschriebenen Weg, wenn man den Wendepunkt noch als Punkt als 4. Information benutzt.