Extrempunkte einer Funktion

[gamemammut]

Hallo, ich brauche mal wieder mathematischen Beistand:-)

ich habe folgende Funktion:

f(x)= (x-1)/(x+1) u'=1 und v'=1

Nach der Quotientenregel kommt raus:

f'(x) =1*(x+1)-1*(x-1)[Bruchstrich](x-1)²

nun habe ich raus: f'(x)=2x+2[Bruchstrich](x-1)²

da stimmt doch was nicht, oder?

[Michael-1987]

u=x-1, v=x+1
Zähler: u'*v+v'*u=1*(x+1)-1*(x-1)=x+1-x+1=2
Nenner: v²=(x+1)²
also f'(x)=2/(x+1)²

[smailies]

Zitat von Michael-1987

u=x-1, v=x+1
Zähler: u'*v-v'*u=1*(x+1)-1*(x-1)=x+1-x+1=2
Nenner: v²=(x+1)²
also f'(x)=2/(x+1)²

Dein Ergebnis stimmt, aber zwischendrin hast du einen Vorzeichenfehler.

Die Folgerung für Extremstellen ist hoffentlich klar, oder?

[gamemammut]

Ok, immer diese Klammern*g*.

Jetzt muss ich die Extremwerte aussrechnen, da würde ich ja 2 als Extremwert herausbekommen, d.h. ja, dass nur ein Extremwert vorhanden ist, 2 Setze ich in die Ursprungsformel ein.

Ist dann 1/3 E(2|1/3).

Als Lösung habe ich aber E1(-0,41|-1,21) und E2(2,41|0,21)

[Michael-1987]

Extremwerte (Maxima oder Minima) findet man ,indem man die Ableitung gleich Null setzt, also f'(x)=2/(x+1)² müsste Null werden.
Man sieht, dass es keine Werte gibt, für die f'(x)=0 gilt.
Als interessanten Punkt gibt es x=-1, den man genauer betrachten sollte (da f(x) für x=-1 nicht definiert ist).
x=2 ist kein Extremwert!

Zitat von gamemammut

Als Lösung habe ich aber E1(-0,41|-1,21) und E2(2,41|0,21)

f(x)=(x-1)/(x+1) passt nicht zu diesen Lösungen.

[Slayer92]

f''(x) darf nicht Null sein, dann hast du einen Extremwert.

f''(x) = (x-3)/[(x+1)³]

Setz in f''(x) jetzt x=2 ein.

• Ist das Ergebnis 0, dann hast du einen Sattelpunkt (also keinen Extremwert).
• Ist das Ergebnis >0 hast du einen Tiefpunkt.
• Ist das Ergebnis <0 hast du einen Hochpunkt.

[DaPhreak]

Zitat von Slayer92

f''(x) darf nicht Null sein, dann hast du einen Extremwert.

f''(x) = (x-3)/[(x+1)³]

Setz in f''(x) jetzt x=2 ein.

Es reicht nicht, dass f''(x) von Null verschieden ist, es muss dazu auch f'(x) = 0 sein. Wie bereit gesagt wurde, hat f'(x) keine Nullstellen, auch x = 2 ist keine. Insofern ist mir nicht ganz klar was es bringen soll, x = 2 in f''(x) einzusetzen.

[Slayer92]

Zitat von DaPhreak

auch x = 2 ist keine.

Achso, kann sein. Aber wieso nicht? Wenn ich f'(x) gleich 0 setze, bekomme ich x = 2 heraus. Oder habe ich da jetzt irgendetwas falsch verstanden/gerechnet.

[Pontius]

Du gehst von der falschen Formel aus: f'(x)=2/(x+1)² ist die richtige,
nicht f'(x)=(2x+2)/(x-1)²

Und dann gibt es beim Nullsetzen keine Lösung, da 0 =/= 2 (für x =/= -1)

[DaPhreak]

Zitat von Slayer92

Wenn ich f'(x) gleich 0 setze, bekomme ich x = 2 heraus. Oder habe ich da jetzt irgendetwas falsch verstanden/gerechnet.

Weiß nicht, welches f'(x) nimmst Du denn?

Das richtige ist f'(x) = 2/(x+1)² und das hat keine NST. Der Zähler ist immer positiv, der Nenner auch (außer für x = -1), damit auch der ganze Bruch, also nie Null. Man könnte auch sagen man kann 2/(x+1)²=0 mit (x+1)² durchmultiplizieren (für x≠-1) und hat dann 2 = 0, also einen Widerspruch.

Selbst das vom TE gepostete f'(x): Das hatte 2x+2 im Zähler, hätte dann also eine NST bei x = -1. Nicht aber bei x = 2.

[Slayer92]

@DaPhreak: Jetzt weiß ich selber nicht mehr, was ich falsch gerechnet habe, hatte x= 2 gelesen und mit dem weitergerechnet. Hab den Zettel schon weggeworfen. Jedenfalls hast du recht, habe verstanden, was du meinst.

[DeadMansHorror]

Zitat von Slayer92

• Ist das Ergebnis 0, dann hast du einen Sattelpunkt (also keinen Extremwert).

Mööp.

Ist das Ergebnis 0 hast du gar nichts gewonnen.
Guck dir mal x^4 an.
Erste Ableitung: 4x^3
Zweite Ableitung: 12 x^2

Nullsetzen liefert für erste Ableitung x=0, aber auch 12*0^2 = 0, also hat x^4 an der Stelle 0 einen Sattelpunkt?

Sollte die 1 Ableitung 0 sein und die zweite Ableitung auch, muss ein anderes Kriterium her, bsp. Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

Zugegeben wird das in der Schule aber nur selten vorkommen. Wissen sollte man es trotzdem.