[Mathe] Ableitung Ln X

[RandyOrton44]

Hallo zusammen...
Gestern in Mathe sagte der Lehrer das die Ableitung von Ln X 1/x ist...
Leider habe ich nach langem Überlegen nicht "gepeilt" wie man das Ableiten soll?

Ich hoffe es kann mir hier einer helfen...Ich wollt erst die Kettenregeln benutzen aber die geht ja hier gar nicht...

[Benutzer-2472]

Merk dir einfach dass ln(x) abgeleitet 1/x entspricht.

Die Kettenregel musst du erst anwenden, wenn du einen Faktor vor dem x hast.

Beispielsweise: ln 2x

Das ergibt dann laut KR zwei Ableitungen. Einmal wie oben 1/(2x) eben und 3.
(Innere und äußere Ableitungen)

Nun Ableitung1 * Ableitung2 = 1/(2x) * 2 ...

[tasi99]

Hallo,
ich versteh deine Frage irgendwie nicht. [ln(x)]' = 1/x, einfach merken und gut ist, genauso wie z.B. die Ableitung von sinus der cosinus ist.

Kleines Beispiel (wie man das dann anwendet und auch die Kettenregel benutzen muss): Ableitung von ln(5x) berechnen:
[ln(5x)]' = 1/(5x) * [5x]' = 1/(5x) * 5 = 5/(5x) = 1/x

[DeadMansHorror]

Das musst du als Schüler dir wirklich einfach merken. Das die Ableitung von ln(x) = 1/x ist folgt keiner trivialen Regel, wie das Ableiten von x^n oder von e^x.

Wenn du es wirklich verstehen willst, warum das so ist kommst du nicht darum herum dich an der Definition der Ableitung zu versuchen, dafür brauchst du dann aber wieder Wissen über Konvergenzen und und und...

Oder anders ausgedrückt: Jetzt musst du es erstmal so hinnehmen und wenn du dann mal Mathe studierst wird dir gezeigt, dass es stimmt.

Wenn es dir auf den Fingern brennt kann ich gerne mal versuchen es dir etwas näher zu bringen, das passt dann aber nicht in einen einfachen Forenbeitrag und dir wird immernoch vieles unklar sein. Bis du beweisen kannst, dass (ln x)'=1/x ist brauchst du schon einiges mathematishes Werkzeug (s.o.).

[DaPhreak]

Für Schulmathematik wird es in den meisten Fällen genügen, die Ableitungen der Elementarfunktionen einfach hinzunehmen. Man möchte dort eher beibringen wie man kompliziertere Funktionen mit Hilfe von Regeln zurückführt auf Elementarfunktionen die man einfach als bekannt voraussetzt.


Falls Dir das nicht genügt und Du es wirklich beweisen willst, gibt es dafür natürlich schon Möglichkeiten. Es hängt ein bisschen davon ab, was man als bekannt voraussetzt und wovon man ausgeht.

Prinzipiell ist die Ableitung ja definiert über den Differenzenquotienten also als

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x+h) - f(x) ) / h.

Wenn Du für f(x) den ln einsetzt und ein bisschen mit Logarithmengesetzen rumrechnest kommst Du auf

f'(x) = lim_{h->0} ln [1+h/x]^(1/h) oder analog
f'(x) = lim_{g->∞} ln[1+(1/x) / g]^g.

Bleibt also zu zeigen, dass der Term im Logarithmus gleich e^-x ist. Je nach dem wie man e definiert geht das verschieden leicht oder schwer. Nutzt man beispielsweise die Definition über den Grenzwert der Folge lim_{n->∞} (1+1/n)^n, dann ist man ziemlich schnell fertig.

Aber wie gesagt, für Schulmathematik wirst Du das alles höchstwahrscheinlich nicht brauchen, da genügt es i.A. die Grundregeln zu akzeptieren. Trotzdem, finde es gut, dass Du das genauer wissen willst!